Calcule \oint_{C}\left(3 y-e^{\sin x}\right) d x+\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right) d y, sendo C: x^{2}+y^{2}=9 no sentido horário.

Passo 1

O enunciado fornece a integral de linha fechada
\oint_{C}\left(3 y-e^{\sin x}\right) d x+\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right) d y
onde C é a circunferência \,x^{2}+y^{2}=9, percorrida no sentido horário.
Informações extraídas e o que é pedido:
  • A função que multiplica dx (chamarei de P(x,y)) é P(x,y)=3y-e^{\sin x}.
  • A função que multiplica dy (chamarei de Q(x,y)) é Q(x,y)=7x+\sqrt{y^{4}+1}.
  • A curva C é o contorno da região D que é o disco de raio 3 centrado na origem.
  • Pergunta: calcular o valor da integral de linha fechada indicada ao longo de C.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática):
  • Quando temos uma integral de linha fechada do tipo \oint_C P\,dx + Q\,dy sobre uma curva simples que é o contorno de uma região D no plano, uma ferramenta muito útil é o resultado que relaciona essa integral de linha com uma integral dupla sobre D. Essa relação é
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) dA,
desde que a orientação de C seja a orientação positiva (sentido anti-horário).
  • Observação importante: a fórmula acima exige orientação anti-horária. No enunciado a curva C é percorrida no sentido horário, ou seja, no sentido oposto ao positivo. Isso significa que, se aplicarmos a fórmula direta, devemos inverter o sinal no resultado final (ou dizer que a integral pedida é o negativo da integral para a orientação positiva).
  • Vou aplicar essa fórmula (passo a passo), porque transforma a integral de linha em uma integral dupla simples sobre o disco de raio 3.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula (a explicação de como derivar):
  • Temos P(x,y)=3y-e^{\sin x}. Derivar P em relação a y significa tratar x como constante e derivar termo a termo. O termo 3y tem derivada 3. O termo -e^{\sin x} não depende de y, logo sua derivada em relação a y é 0. Portanto
\frac{\partial P}{\partial y}=3.
  • Temos Q(x,y)=7x+\sqrt{y^{4}+1}. Derivar Q em relação a x significa tratar y como constante. O termo 7x tem derivada 7. O termo \sqrt{y^{4}+1} não depende de x, então sua derivada em relação a x é 0. Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}=7.
(Mini-aula: quando uma função não contém a variável com respeito à qual se deriva, essa parte contribui com zero; e a derivada de ax é a.)

Passo 4

Formar o integrando da integral dupla e simplificar:
  • Na fórmula aparece a diferença \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}. Substituindo os valores obtidos:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=7-3=4.
  • Ou seja, o integrando é constante igual a 4 em toda a região D.

Passo 5

Calcular a integral dupla sobre D (cálculo efetivo):
  • A integral dupla fica
\iint_D 4\,dA = 4\iint_D dA = 4\cdot (\text{área de }D).á
  • A região D é o disco de raio 3, cuja área é \pi r^{2}=\pi\cdot 3^{2}=9\pi.
  • Portanto, para a orientação positiva (anti-horária) a integral valeria
4\cdot 9\pi = 36\pi.

Passo 6

Ajustar o sinal por causa do sentido horário:
  • Como o enunciado especifica que C é percorrida no sentido horário (sentido negativo em relação à orientação usada na fórmula), a integral pedida é o negativo da integral calculada para a orientação positiva. Logo
\oint_{C}\left(3 y-e^{\sin x}\right) d x+\left(7 x+\sqrt{y^{4}+1}\right) d y = -36\pi.

Resposta

-36\pi

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