Calcule
, sendo
no sentido horário.
Passo 1
O enunciado fornece a integral de linha fechada
onde
é a circunferência
, percorrida no sentido horário.
Informações extraídas e o que é pedido:
Informações extraídas e o que é pedido:
- A função que multiplica
(chamarei de ) é . - A função que multiplica
(chamarei de ) é . - A curva
é o contorno da região que é o disco de raio centrado na origem. - Pergunta: calcular o valor da integral de linha fechada indicada ao longo de
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática):
- Quando temos uma integral de linha fechada do tipo
sobre uma curva simples que é o contorno de uma região no plano, uma ferramenta muito útil é o resultado que relaciona essa integral de linha com uma integral dupla sobre . Essa relação é
desde que a orientação de
seja a orientação positiva (sentido anti-horário).
- Observação importante: a fórmula acima exige orientação anti-horária. No enunciado a curva
é percorrida no sentido horário, ou seja, no sentido oposto ao positivo. Isso significa que, se aplicarmos a fórmula direta, devemos inverter o sinal no resultado final (ou dizer que a integral pedida é o negativo da integral para a orientação positiva). - Vou aplicar essa fórmula (passo a passo), porque transforma a integral de linha em uma integral dupla simples sobre o disco de raio
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula (a explicação de como derivar):
- Temos
. Derivar em relação a significa tratar como constante e derivar termo a termo. O termo tem derivada . O termo não depende de , logo sua derivada em relação a é . Portanto
- Temos
. Derivar em relação a significa tratar como constante. O termo tem derivada . O termo não depende de , então sua derivada em relação a é . Portanto
(Mini-aula: quando uma função não contém a variável com respeito à qual se deriva, essa parte contribui com zero; e a derivada de
é
.)
Passo 4
Formar o integrando da integral dupla e simplificar:
- Na fórmula aparece a diferença
. Substituindo os valores obtidos:
- Ou seja, o integrando é constante igual a
em toda a região .
Passo 5
Calcular a integral dupla sobre
(cálculo efetivo):
- A integral dupla fica
- A região
é o disco de raio , cuja área é . - Portanto, para a orientação positiva (anti-horária) a integral valeria
Passo 6
Ajustar o sinal por causa do sentido horário:
- Como o enunciado especifica que
é percorrida no sentido horário (sentido negativo em relação à orientação usada na fórmula), a integral pedida é o negativo da integral calculada para a orientação positiva. Logo