O Teorema de Green pode ser utilizado para calcular a integral
(a) onde
é a circunferência
, orientada no sentido anti-horário?
(b) onde
é o triângulo com vértices
e
, no sentido anti-horário?
(c) Qual é o valor da integral de linha, onde
é o triângulo do item (b)?
(a) onde
(b) onde
(c) Qual é o valor da integral de linha, onde
Passo 1
O enunciado pede para analisar a integral de linha
e faz três perguntas separadas:
- (a) A pergunta: “O Teorema de Green pode ser utilizado para calcular essa integral quando
é a circunferência orientada no sentido anti-horário?”
Informação dada: curvaé o círculo centrado na origem de raio . - (b) A pergunta: “O Teorema de Green pode ser utilizado para calcular essa integral quando
é o triângulo com vértices orientado no sentido anti-horário?”
Informação dada: curvaé o contorno do triângulo com esses vértices. - (c) A pergunta: “Qual é o valor da integral de linha quando
é o triângulo do item (b)?”
Informação dada: mesmo triângulo do item (b), orientação anti-horária.
Dados explícitos da forma diferencial (vou indicar as duas componentes):
Passo 2
O que diz o Teorema de Green (em palavras simples e o que é necessário verificar para usá-lo):
- Se
é uma região do plano com fronteira simples e orientada positivamente (anti-horário) e se e têm derivadas parciais contínuas num conjunto aberto que contém e sua fronteira, então
- Portanto, para aplicar Green devemos checar duas coisas principais: (i)
e estão bem definidas e têm derivadas parciais contínuas em toda a região fechada (incluindo interior); (ii) a fronteira é positiva/anti-horária (aqui já é o caso pedido).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais
e
explicitamente (vou desenvolver passo a passo).
Escrevendo , temos
Escrevendo
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Agora a diferença que aparece em Green:
Conclusão importante: para todo ponto
com
(ou seja,
) obtemos
Observação crucial:
e
não estão definidas em
(o denominador
anula-se), logo as derivadas acima só fazem sentido e são contínuas em domínios que não contenham a origem.
Passo 4
Aplicação ao item (a) —
(círculo de raio
, anti-horário).
- Verificação da condição de Green: a região interior
do círculo inclui o ponto . Em as funções e não estão definidas, logo as derivadas parciais não são contínuas em um aberto que contenha toda a região fechada . Portanto a hipótese do Teorema de Green NÃO está satisfeita: não se pode aplicar diretamente o Teorema de Green para substituir pela integral dupla. - Apesar disso, podemos calcular diretamente a integral de linha parametrizando a circunferência. Parametrização padrão (anti-horário):
Então
Substituindo na integral:
Simplificando o integrando:
Portanto a integral é
Resumo do item (a): O Teorema de Green NÃO pode ser usado (porque a região contém o ponto singular
); a integral de linha, calculada diretamente, vale
.
Passo 5
Aplicação ao item (b) — triângulo com vértices
, orientação anti-horária.
- Observação geográfica da região
do triângulo: todos os pontos do triângulo têm coordenada . Em particular o ponto NÃO pertence à região nem ao seu interior. - Consequência: nas coordenadas do triângulo,
é sempre estritamente positiva, de modo que e e suas derivadas parciais (calculadas no Passo 3) são bem definidas e contínuas em um aberto que contém toda a região triangular fechada. Logo as hipóteses do Teorema de Green são satisfeitas. - Conclusão do item (b): O Teorema de Green PODE ser utilizado para calcular a integral sobre esse triângulo (resposta: Sim).
Passo 6
Cálculo do item (c) usando Green (já que é aplicável).
- Pelas contas do Passo 3 temos
em todo ponto do interior do triângulo. - Pelo Teorema de Green,
- Portanto o valor da integral de linha sobre o triângulo (orientado anti-horário) é
.
Resposta
(a) Não.
(b) Sim.
(c)
(b) Sim.
(c)