Seja C a curva dada pelo gráfico da função y=x \sqrt{1-x}, x \in[0,1]. Considere o campo vetorial
\vec{F}(x, y)=\left((y+1)^{2}, 2 x+\sin ^{2} y\right)
a) Encontre uma parametrização \vec{r}(t) de C.
b) Encontre uma parametrização \vec{r}_{1}(t) do segmento de reta C_{1} que liga os extremos de C.
c) Utilize o Teorema de Green para calcular a integral \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A curva C é o gráfico da função y = x\sqrt{1-x}, com x \in [0,1].
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y)=\big((y+1)^{2},\,2x+\sin^{2}y\big).
  • Os extremos (endpoints) de C são obtidos em x=0 e x=1:
    • em x=0 temos o ponto (0,0),
    • em x=1 temos o ponto (1,0).
  • O enunciado pede:
    (a) uma parametrização \vec{r}(t) de C;
    (b) uma parametrização \vec{r}_{1}(t) do segmento de reta C_{1} que liga os extremos de C;
    (c) usar o Teorema de Green para calcular \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Parametrizar C. A maneira natural é usar a própria x como parâmetro: seja t=x. Então uma parametrização simples é
\vec{r}(t)=\big(t,\;t\sqrt{1-t}\big),\qquad t\in[0,1].
Explicando devagar: escolhi t para representar x. Assim a componente x(t)=t e a componente y(t)=t\sqrt{1-t}. Verifique os extremos: \vec{r}(0)=(0,0) e \vec{r}(1)=(1,0), como exigido. A derivada, que usaremos possivelmente para integrais diretas, é
\vec{r}\,'(t)=\Big(1,\;\sqrt{1-t} + t\cdot\frac{-1}{2\sqrt{1-t}}\Big) =\Big(1,\;\sqrt{1-t}-\frac{t}{2\sqrt{1-t}}\Big),
mas para o uso do Teorema de Green não será necessário calcular \vec{r}\,' explicitamente para C.

Passo 3

Parametrizar o segmento de reta C_{1} que liga os extremos (1,0) e (0,0). Há várias maneiras; para fechar a curva convenientemente ao aplicar Green eu escolho percorrer C_{1} de (1,0) para (0,0). Uma parametrização simples é
\vec{r}_{1}(t)=\big(1-t,\;0\big),\qquad t\in[0,1].
Checagem: \vec{r}_{1}(0)=(1,0) e \vec{r}_{1}(1)=(0,0). A derivada é \vec{r}_{1}'(t)=(-1,0). Observe que escolhi essa orientação para que, ao percorrer primeiro C (de (0,0) para (1,0)) e depois C_{1} (de (1,0) para (0,0)), o caminho fechado resultante seja aquele usado nas contas abaixo (ver comentários sobre orientação no próximo passo).

Passo 4

Vou explicar o Teorema de Green e como vamos usá-lo. Para um campo \vec{F}=(P,Q) e uma região plana D cujo contorno \partial D é uma curva simples fechada e orientada positivamente (contra-horário), o Teorema de Green diz:
\oint_{\partial D} \vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} é a “rotacional escalar” em 2D (às vezes chamada de “curl” do campo plano). A ideia prática: fechamos a curva C com o segmento C_{1} formando a fronteira \partial D da região D limitada pela curva e pelo segmento, e aplicamos Green. Importante: a fórmula acima vale para orientação contrária (horária) apenas com sinal trocado. Vou cuidar disso nas contas.

Passo 5

Calcular \frac{\partial Q}{\partial x} e \frac{\partial P}{\partial y} para o nosso campo. Temos P(x,y)=(y+1)^2 e Q(x,y)=2x+\sin^{2}y. Assim
\frac{\partial Q}{\partial x}=2, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=2(y+1).
Portanto o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2-2(y+1)=-2y.
Comentário didático: isso significa que o integrando do duplo integral é simplesmente -2y, uma função fácil de integrar sobre a região D.

Passo 6

Descrever a região D e montar o duplo integral. A região D é a região no plano limitada superiormente por y=x\sqrt{1-x} e inferiormente pelo eixo y=0, com x variando de 0 a 1. Então
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le x\sqrt{1-x}\}.
Pela fórmula de Green (com orientação positiva — contra-horário),
\oint_{\partial D}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}(-2y)\,dA =-2\int_{x=0}^{1}\bigg(\int_{y=0}^{x\sqrt{1-x}} y\,dy\bigg)dx.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{x\sqrt{1-x}} y\,dy=\frac{1}{2}\big(x\sqrt{1-x}\big)^{2}=\frac{1}{2}x^{2}(1-x).
Logo
\iint_{D}(-2y)\,dA=-2\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^{2}(1-x)\,dx =-\int_{0}^{1}x^{2}(1-x)\,dx.
Compute o integral:
\int_{0}^{1}x^{2}(1-x)\,dx=\int_{0}^{1}\big(x^{2}-x^{3}\big)\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}.
Portanto
\iint_{D}(-2y)\,dA=-\frac{1}{12}.
Isto é o valor de \oint_{\partial D}\vec{F}\cdot d\vec{r} quando \partial D é percorrido no sentido positivo (contra-horário).

Passo 7

Tratar a orientação do contorno que estamos realmente usando. Eu escolhi em Passo 2 a parametrização de C como t de 0 a 1, ou seja C é percorrida de (0,0) para (1,0). Em Passo 3 escolhi C_{1} percorrida de (1,0) para (0,0). O contorno formado por primeiro C (esquerda→direita sobre a curva) e depois C_{1} (direita→esquerda sobre a reta) é, visualmente, percorrido no sentido horário. Portanto a curva fechada que estamos realmente montando tem orientação horária (não a orientação positiva do enunciado do Teorema de Green). Assim a integral sobre esse contorno fechado vale o negativo do resultado que calculamos no Passo 6. Em símbolos:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\oint_{\text{horário}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =-\oint_{\text{contra-horário}}\vec{F}\cdot d\vec{r} =-\left(-\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{12}.áá
Portanto temos a relação prática
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{1}{12},
onde a integral em C_{1} deve ser tomada com a orientação de (1,0) para (0,0) (exatamente como parametrizei em Passo 3).

Passo 8

Calcular a integral ao longo de C_{1} com a parametrização \vec{r}_{1}(t)=\big(1-t,0\big),\,t\in[0,1]. Primeiro avalio \vec{F} sobre y=0:
P(x,0)=(0+1)^{2}=1,\qquad Q(x,0)=2x+\sin^{2}0=2x.
Com a derivada \vec{r}_{1}'(t)=(-1,0) e x(t)=1-t, o produto escalar é
\vec{F}(\vec{r}_{1}(t))\cdot\vec{r}_{1}'(t)=P(x(t),0)\cdot \frac{dx}{dt}+Q(x(t),0)\cdot\frac{dy}{dt} =1\cdot(-1)+2x(t)\cdot 0=-1.
Integro no intervalo t\in[0,1]:
\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}(-1)\,dt=-1.

Passo 9

Agora uso a relação do Passo 7:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}+\int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{1}{12}.
Substituindo \int_{C_{1}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-1 obtemos
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{1}{12}-\big(-1\big)=\frac{1}{12}+1=\frac{13}{12}.
Interpretando: a integral de linha ao longo do gráfico C (parametrizado de x=0 a x=1) do campo dado é \dfrac{13}{12}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{r}(t)=\big(t,\;t\sqrt{1-t}\big),\\ t\in[0,1]\n
(b) \displaystyle \vec{r}_{1}(t)=\big(1-t,\;0\big),\\ t\in[0,1]\n
(c) \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{13}{12}

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