Seja
a curva dada pelo gráfico da função
. Considere o campo vetorial
a) Encontre uma parametrização
de
.
b) Encontre uma parametrização
do segmento de reta
que liga os extremos de
.
c) Utilize o Teorema de Green para calcular a integral
.
b) Encontre uma parametrização
c) Utilize o Teorema de Green para calcular a integral
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A curva
é o gráfico da função , com . - O campo vetorial é
. - Os extremos (endpoints) de
são obtidos em e : - em
temos o ponto , - em
temos o ponto .
- em
- O enunciado pede:
(a) uma parametrizaçãode ;
(b) uma parametrizaçãodo segmento de reta que liga os extremos de ;
(c) usar o Teorema de Green para calcular.
Passo 2
Parametrizar
. A maneira natural é usar a própria
como parâmetro: seja
. Então uma parametrização simples é
Explicando devagar: escolhi
para representar
. Assim a componente
e a componente
. Verifique os extremos:
e
, como exigido. A derivada, que usaremos possivelmente para integrais diretas, é
mas para o uso do Teorema de Green não será necessário calcular
explicitamente para
.
Passo 3
Parametrizar o segmento de reta
que liga os extremos
e
. Há várias maneiras; para fechar a curva convenientemente ao aplicar Green eu escolho percorrer
de
para
. Uma parametrização simples é
Checagem:
e
. A derivada é
. Observe que escolhi essa orientação para que, ao percorrer primeiro
(de
para
) e depois
(de
para
), o caminho fechado resultante seja aquele usado nas contas abaixo (ver comentários sobre orientação no próximo passo).
Passo 4
Vou explicar o Teorema de Green e como vamos usá-lo. Para um campo
e uma região plana
cujo contorno
é uma curva simples fechada e orientada positivamente (contra-horário), o Teorema de Green diz:
Aqui
é a “rotacional escalar” em 2D (às vezes chamada de “curl” do campo plano). A ideia prática: fechamos a curva
com o segmento
formando a fronteira
da região
limitada pela curva e pelo segmento, e aplicamos Green. Importante: a fórmula acima vale para orientação contrária (horária) apenas com sinal trocado. Vou cuidar disso nas contas.
Passo 5
Calcular
e
para o nosso campo. Temos
e
. Assim
Portanto o integrando de Green é
Comentário didático: isso significa que o integrando do duplo integral é simplesmente
, uma função fácil de integrar sobre a região
.
Passo 6
Descrever a região
e montar o duplo integral. A região
é a região no plano limitada superiormente por
e inferiormente pelo eixo
, com
variando de
a
. Então
Pela fórmula de Green (com orientação positiva — contra-horário),
Calcule a integral interna:
Logo
Compute o integral:
Portanto
Isto é o valor de
quando
é percorrido no sentido positivo (contra-horário).
Passo 7
Tratar a orientação do contorno que estamos realmente usando. Eu escolhi em Passo 2 a parametrização de
como
de
a
, ou seja
é percorrida de
para
. Em Passo 3 escolhi
percorrida de
para
. O contorno formado por primeiro
(esquerda→direita sobre a curva) e depois
(direita→esquerda sobre a reta) é, visualmente, percorrido no sentido horário. Portanto a curva fechada que estamos realmente montando tem orientação horária (não a orientação positiva do enunciado do Teorema de Green). Assim a integral sobre esse contorno fechado vale o negativo do resultado que calculamos no Passo 6. Em símbolos:
Portanto temos a relação prática
onde a integral em
deve ser tomada com a orientação de
para
(exatamente como parametrizei em Passo 3).
Passo 8
Calcular a integral ao longo de
com a parametrização
. Primeiro avalio
sobre
:
Com a derivada
e
, o produto escalar é
Integro no intervalo
:
Passo 9
Agora uso a relação do Passo 7:
Substituindo
obtemos
Interpretando: a integral de linha ao longo do gráfico
(parametrizado de
a
) do campo dado é
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)