Calcule
, em que
é o triângulo de vértices
e
percorrido no sentido anti-horário:
usando a definição de integral de linha.
usando a definição de integral de linha.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha $ \oint_{C} y x^{2} dx + x dy $, onde $ C $ é o triângulo com vértices em
,
e
, trilhado no sentido anti-horário. Vamos usar a definição de integral de linha, que basicamente envolve calcular a integral em cada trecho do caminho e somar tudo no final.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o triângulo em três segmentos de reta:
- De
a — vamos chamar de Segmento AB. - De
a — chamado de Segmento BC. - De
de volta a — chamado de Segmento CA.
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente.
Passo 3
Segmento AB: de
a
Aqui, a variável $ y $ é sempre 0 porque estamos no eixo $ x $. Podemos parametrizar esse segmento assim:
- $ x = t $ onde $ t $ varia de 0 a 1.
- $ y = 0 $
- $ dx = dt $
- $ dy = 0 $
Substituindo na integral:
Então, a integral nesse segmento é 0.
Passo 4
Segmento BC: de
a
Aqui, a variável $ x $ é sempre 1, pois estamos numa linha vertical. A parametrização fica:
- $ x = 1 $
- $ y = t $ onde $ t $ varia de 0 a 2.
- $ dx = 0 $
- $ dy = dt $
Substituindo na integral:
Então, a integral nesse segmento é 2.
Passo 5
Segmento CA: de
a
Esse é o trecho inclinado. Vamos lembrar que uma linha reta pode ser parametrizada linearmente. Precisamos expressar $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro $ t $ que vai de 0 a 1.
A equação da reta que passa por
e
pode ser encontrada por:
Então, podemos parametrizar assim:
- $ x = 1 - t $ onde $ t $ varia de 0 a 1.
- $ y = 2(1 - t) = 2 - 2t $
- $ dx = -dt $
- $ dy = -2dt $
Substituindo na integral:
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro termo:
Simplificando:
Segundo termo:
Agora, integramos de 0 a 1:
Calculando as integrais:
Então, a integral nesse segmento é
.
Resposta
Somando as integrais dos três segmentos:
Então, a integral $ \oint_{C} y x^{2} dx + x dy $ é igual a $ \frac{1}{2} $.