Calcule ointC y x^2 d x+x d y, em que C é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,2) percorrido no sentido anti-horário:
usando a definição de integral de linha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha $ \oint_{C} y x^{2} dx + x dy $, onde $ C $ é o triângulo com vértices em ointC y x^2 dx + x dy , C e (0,0), trilhado no sentido anti-horário. Vamos usar a definição de integral de linha, que basicamente envolve calcular a integral em cada trecho do caminho e somar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o triângulo em três segmentos de reta:
  1. De (0,0) a (1,0) — vamos chamar de Segmento AB.
  2. De (1,0) a (1,2) — chamado de Segmento BC.
  3. De (1,2) de volta a (0,0) — chamado de Segmento CA.
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente.

Passo 3

Segmento AB: de (0,0) a (1,0)
Aqui, a variável $ y $ é sempre 0 porque estamos no eixo $ x $. Podemos parametrizar esse segmento assim:
  • $ x = t $ onde $ t $ varia de 0 a 1.
  • $ y = 0 $
  • $ dx = dt $
  • $ dy = 0 $
Substituindo na integral:
y
Então, a integral nesse segmento é 0.

Passo 4

Segmento BC: de (1,0) a (1,2)
Aqui, a variável $ x $ é sempre 1, pois estamos numa linha vertical. A parametrização fica:
  • $ x = 1 $
  • $ y = t $ onde $ t $ varia de 0 a 2.
  • $ dx = 0 $
  • $ dy = dt $
Substituindo na integral:
x
Então, a integral nesse segmento é 2.

Passo 5

Segmento CA: de (1,2) a (0,0)
Esse é o trecho inclinado. Vamos lembrar que uma linha reta pode ser parametrizada linearmente. Precisamos expressar $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro $ t $ que vai de 0 a 1.
A equação da reta que passa por x e y pode ser encontrada por:
t
Então, podemos parametrizar assim:
  • $ x = 1 - t $ onde $ t $ varia de 0 a 1.
  • $ y = 2(1 - t) = 2 - 2t $
  • $ dx = -dt $
  • $ dy = -2dt $
Substituindo na integral:
(1,2)
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro termo:
(0,0)
Simplificando:
y - 2x - 1 = 2 - 01 - 0 = 2 implies y = 2x
Segundo termo:
x = 1 - t
Agora, integramos de 0 a 1:
t
Calculando as integrais:
y = 2(1 - t) = 2 - 2t
Então, a integral nesse segmento é dx = -dt .

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
0 + 2 + (-32) = 12
Então, a integral $ \oint_{C} y x^{2} dx + x dy $ é igual a $ \frac{1}{2} $.

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