Verifique que
é conservativo, determine uma função potencial
tal que
e calcule
em cada um dos itens a seguir.
e
é uma curva que liga os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo
é conservativo, encontrar uma potencial
tal que
e calcular a integral de linha de
ao longo de qualquer curva
que une
a
. O conteúdo envolvido é teste de conservatividade (igualdade das derivadas mistas) e integração de campos conservativos via funções potenciais.
Passo 2
Para verificar que
é conservativo, calculamos as derivadas parciais: a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é
Como essas duas derivadas coincidem em
, o campo é conservativo.
Passo 3
Para encontrar a potencial
, integramos
em relação a
:
Em seguida, fazemos
que deve ser igual a
. Logo,
, ou seja,
é constante. Podemos tomar essa constante igual a zero, obtendo
Passo 4
Para calcular
, usamos a independência de caminho de campos conservativos. Basta avaliar
Temos
portanto
Resposta
-2