Verifique que F(x, y) é conservativo, determine uma função potencial varphi tal que F=nabla varphi e calcule integralC F cdot d gamma em cada um dos itens a seguir.
F(x, y)=(e^y, x e^y) e C é uma curva que liga os pontos (1,0) e (-1,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vec F(x,y)=(e^y,,x e^y) é conservativo, encontrar uma potencial varphi(x,y) tal que nablavarphi=vec F e calcular a integral de linha de vec F ao longo de qualquer curva C que une (1,0) a (-1,0). O conteúdo envolvido é teste de conservatividade (igualdade das derivadas mistas) e integração de campos conservativos via funções potenciais.

Passo 2

Para verificar que vec F é conservativo, calculamos as derivadas parciais: a derivada de F2=x e^y em relação a x é
partialpartial x(x e^y)=e^y
e a derivada de F1=e^y em relação a y é
partialpartial y(e^y)=e^y
Como essas duas derivadas coincidem em R^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a potencial varphi(x,y), integramos F1=e^y em relação a x:
varphi(x,y)=integral e^y,dx=x e^y+g(y)
Em seguida, fazemos
partialvarphipartial y=x e^y+g'(y)
que deve ser igual a F2=x e^y. Logo, g'(y)=0, ou seja, g(y) é constante. Podemos tomar essa constante igual a zero, obtendo
varphi(x,y)=x e^y

Passo 4

Para calcular integralCvec Fcdot dgamma, usamos a independência de caminho de campos conservativos. Basta avaliar
varphi(-1,0)-varphi(1,0)
Temos
varphi(-1,0)=(-1)e^0=-1,
varphi(1,0)=(1)e^0=1,
portanto
integralCvec Fcdot dgamma= -1 - 1 = -2

Resposta

-2

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