Dica fornecida: calcular via escalonamento. O enunciado também apresenta alternativas de resposta; temos de escolher a correta.
Passo 2
Conceito importante (aula curta): trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1. Em notação, se B é obtida de A trocando duas linhas, então \det(B)=-\det(A).
Aplicação prática: queremos um pivô não nulo na primeira coluna, então troco \text{R}_1 com \text{R}_2. Isso dá uma nova matriz A_1 e altera o sinal do determinante:
\det(A_1)=-\det(A).
Depois da troca \text{R}_1\leftrightarrow\text{R}_2 obtemos
Conceito importante: somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Ou seja, operações do tipo \text{R}_i \leftarrow \text{R}_i + k\text{R}_j deixam \det inalterado.
Aplicando para zerar abaixo do pivô da primeira coluna:
Pivô da terceira coluna é \text{R}_3 com valor 1. Não há necessidade de eliminar abaixo na coluna 3 (já são zeros). Passamos à quarta coluna. O pivô em (4,4) é -1 (entrada de \text{R}_4).
Conceito importante: o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Assim, para A_4 temos
\det(A_4)=1\cdot 3\cdot 1\cdot (-1)\cdot 5 = -15.
Lembrete do rastreamento de sinais: só fizemos uma troca de linhas (no começo), e todas as outras operações foram somas de múltiplos de linhas (que não mudam o determinante). Portanto, relacionando com a matriz original A,