Q3: Calcule \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -5 & -4 & -7 & -3 \\\\ -2 & 1 & 1 & 0 & -1 \\\\ -1 & -7 & -7 & -9 & -6\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) 8
(B) 9
(C) 10
(D) 11
(E) 12
(F) 13
(G) 14
(H) 15

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o determinante da matriz 5\times5
A=\left[\begin{array}{rrrrr} 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -5 & -4 & -7 & -3 \\\\ -2 & 1 & 1 & 0 & -1 \\\\ -1 & -7 & -7 & -9 & -6 \end{array}\right].
Dica fornecida: calcular via escalonamento. O enunciado também apresenta alternativas de resposta; temos de escolher a correta.

Passo 2

Conceito importante (aula curta): trocar duas linhas de uma matriz multiplica o determinante por -1. Em notação, se B é obtida de A trocando duas linhas, então \det(B)=-\det(A).
Aplicação prática: queremos um pivô não nulo na primeira coluna, então troco \text{R}_1 com \text{R}_2. Isso dá uma nova matriz A_1 e altera o sinal do determinante:
\det(A_1)=-\det(A).
Depois da troca \text{R}_1\leftrightarrow\text{R}_2 obtemos
A_1=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 1 & -5 & -4 & -7 & -3\\\\ -2 & 1 & 1 & 0 & -1\\\\ -1 & -7 & -7 & -9 & -6 \end{array}\right].

Passo 3

Conceito importante: somar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante. Ou seja, operações do tipo \text{R}_i \leftarrow \text{R}_i + k\text{R}_j deixam \det inalterado.
Aplicando para zerar abaixo do pivô da primeira coluna:
\begin{aligned} \text{R}_3 &\leftarrow \text{R}_3-\text{R}_1,\\\ \text{R}_4 &\leftarrow \text{R}_4+2\text{R}_1,\\\ \text{R}_5 &\leftarrow \text{R}_5+\text{R}_1. \end{aligned}
Cálculo linha a linha:
\begin{aligned} \text{R}_3 &: \;[1,-5,-4,-7,-3]-[1,1,1,1,1]=[0,-6,-5,-8,-4],\\\ \text{R}_4 &: \;[-2,1,1,0,-1]+2[1,1,1,1,1]=[0,3,3,2,1],\\\ \text{R}_5 &: \;[-1,-7,-7,-9,-6]+[1,1,1,1,1]=[0,-6,-6,-8,-5]. \end{aligned}
A matriz fica
A_2=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 0 & -6 & -5 & -8 & -4\\\\ 0 & 3 & 3 & 2 & 1\\\\ 0 & -6 & -6 & -8 & -5 \end{array}\right].
O determinante permanece \det(A_2)=\det(A_1)=-\det(A).

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda coluna, que é \text{R}_2 com valor 3 em (2,2). Para zerar as entradas abaixo na coluna 2 fazemos:
\begin{aligned} \text{R}_3 &\leftarrow \text{R}_3+2\text{R}_2,\\\ \text{R}_4 &\leftarrow \text{R}_4-\text{R}_2,\\\ \text{R}_5 &\leftarrow \text{R}_5+2\text{R}_2. \end{aligned}
Essas operações não mudam o determinante. Calculando:
\begin{aligned} \text{R}_3 &: [0,-6,-5,-8,-4]+2[0,3,3,3,3]=[0,0,1,-2,2],\\\ \text{R}_4 &: [0,3,3,2,1]-[0,3,3,3,3]=[0,0,0,-1,-2],\\\ \text{R}_5 &: [0,-6,-6,-8,-5]+2[0,3,3,3,3]=[0,0,0,-2,1]. \end{aligned}
A matriz fica
A_3=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Pivô da terceira coluna é \text{R}_3 com valor 1. Não há necessidade de eliminar abaixo na coluna 3 (já são zeros). Passamos à quarta coluna. O pivô em (4,4) é -1 (entrada de \text{R}_4).
Para zerar a entrada em (5,4) (que é -2) usamos:
\text{R}_5 \leftarrow \text{R}_5 - 2\text{R}_4.
Isso não altera o determinante. Calculando:
\text{R}_5: [0,0,0,-2,1]-2[0,0,0,-1,-2]=[0,0,0,0,5].
A matriz triangular final é
A_4=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right].

Passo 6

Conceito importante: o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Assim, para A_4 temos
\det(A_4)=1\cdot 3\cdot 1\cdot (-1)\cdot 5 = -15.
Lembrete do rastreamento de sinais: só fizemos uma troca de linhas (no começo), e todas as outras operações foram somas de múltiplos de linhas (que não mudam o determinante). Portanto, relacionando com a matriz original A,
\det(A_4)=\det(A_1)=-\det(A).
Como \det(A_4)=-15, segue
-15=-\det(A)\quad\Longrightarrow\quad \det(A)=15.

Resposta

(H) 15

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