Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n com \operatorname{det} A=0. Considere as afirmativas abaixo:
I - O núcleo de A é diferente de \{\overrightarrow{0}\}.
II - Para algum \vec{b} o sistema linear A \vec{x}=\vec{b} não possui solução.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem n com \operatorname{det}A=0 e pede para avaliar as duas afirmativas abaixo:
I - O núcleo de A é diferente de \{\overrightarrow{0}\}.
II - Para algum \vec{b} o sistema linear A\vec{x}=\vec{b} não possui solução.
Devemos decidir quais das afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) e (D).

Passo 2

Vamos entender precisamente o que cada afirmativa diz (sem provar nada ainda), para não nos perder:
  • O núcleo (ou núcleo) de A é o conjunto
\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{0}\}.
Dizer que \ker(A) é diferente de \{\overrightarrow{0}\} significa que existe algum vetor \vec{x}\neq\overrightarrow{0} tal que A\vec{x}=\vec{0}. Em termos práticos: a equação homogênea A\vec{x}=\vec{0} teria uma solução não nula.
  • A afirmativa II diz que existe algum vetor \vec{b} para o qual o sistema A\vec{x}=\vec{b} é impossível (inconsistente). Em linguagem de espaços: existe \vec{b} que não pertence ao espaço gerado pelas colunas de A (coluna espaço/imagem).

Passo 3

Agora vamos ligar \operatorname{det}A=0 a propriedades algébricas intuitivas. Uma interpretação clássica e fácil de usar é esta:
  • As colunas de A são vetores em \mathbb{R}^n. Se \operatorname{det}A\neq 0, essas colunas são linearmente independentes e formam uma base (portanto geram todo \mathbb{R}^n). Se \operatorname{det}A=0, então as colunas são linearmente dependentes: alguma combinação linear não trivial das colunas dá o vetor zero.
    Vou explicar essa ligação de forma direta e sem jargão: o determinante mede (entre outras interpretações) o “volume” do paralelepípedo formado pelas colunas. Se esse volume é zero ( \operatorname{det}A=0), as colunas estão “no mesmo plano” de dimensão menor que n; elas não conseguem preencher todo \mathbb{R}^n, logo são linearmente dependentes.

Passo 4

Usando essa frase feita sobre dependência linear, vemos imediatamente uma consequência para a afirmativa I:
  • Se as colunas são linearmente dependentes, existem escalares x_1,\dots,x_n, nem todos nulos, tais que
x_1\vec{c}_1+\cdots+x_n\vec{c}_n=\vec{0},
onde \vec{c}_j é a j-ésima coluna de A. Mas essa igualdade é exatamente a equação matricial A\vec{x}=\vec{0} com \vec{x}=(x_1,\dots,x_n)^\top, e como nem todos os x_j são zero, encontramos uma solução não trivial do sistema homogêneo. Isso significa que
\ker(A)\neq\{\overrightarrow{0}\}.
Portanto, a afirmativa I é verdadeira. (Resumo do raciocínio: \operatorname{det}A=0 \Rightarrow colunas dependentes \Rightarrow existe \vec{x}\neq\vec{0} com A\vec{x}=0.)

Passo 5

Agora a afirmativa II. Precisamos ver se quando \operatorname{det}A=0 existe algum \vec{b} para o qual A\vec{x}=\vec{b} não tem solução. Use este raciocínio:
  • As soluções de A\vec{x}=\vec{b} existem precisamente quando \vec{b} pertence ao subespaço gerado pelas colunas de A, que chamamos de \operatorname{Col}(A) ou imagem de A.
  • Como já vimos, \operatorname{det}A=0 implica que as colunas são linearmente dependentes, então \dim(\operatorname{Col}(A))<n. Ou seja, as colunas geram um subespaço próprio de \mathbb{R}^n, não todo \mathbb{R}^n.
  • Logo existem vetores \vec{b}\in\mathbb{R}^n que não estão em \operatorname{Col}(A). Para esses \vec{b} o sistema A\vec{x}=\vec{b} não terá solução. Assim, a afirmativa II também é verdadeira.

Passo 6

Para fixar a ideia, vou mostrar um exemplo concreto (isso ajuda muito na prova para ver que o caso realmente ocorre). Tome n=2\) e \[A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Aqui \operatorname{det}A=1\cdot4-2\cdot2=4-4=0. As colunas são múltiplas uma da outra, logo dependentes. Verificamos a afirmativa I encontrando um vetor não nulo no kernel: escolha \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}. Calculando,
A\vec{x}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot(-1)\\[4pt]2\cdot2+4\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},
portanto \vec{x}\neq\vec{0} e está no kernel. Para a afirmativa II, escolha \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. O sistema
\begin{cases} x+2y=1,\\[4pt] 2x+4y=0 \end{cases}
é incompatível: multiplicando a primeira equação por 2\] dá \(2x+4y=2, que contradiz a segunda equação 2x+4y=0. Logo não existe solução para esse \vec{b}. Isso ilustra que ambas as afirmativas são verdadeiras na prática.]

Passo 7

Conclusão lógica: a partir de \operatorname{det}A=0 já mostramos que existe solução não trivial do homogêneo (I é verdadeira) e que a imagem de A é um subespaço próprio de \mathbb{R}^n, logo existem vetores \vec{b} fora da imagem para os quais A\vec{x}=\vec{b} não tem solução (II é verdadeira). Portanto ambas as afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(D)

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