Q4: Seja
uma matriz quadrada
com
. Considere as afirmativas abaixo:
I - O núcleo de
é diferente de
.
II - Para algum
o sistema linear
não possui solução.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - O núcleo de
II - Para algum
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
com
e pede para avaliar as duas afirmativas abaixo:
I - O núcleo de é diferente de
.
II - Para algum o sistema linear
não possui solução.
Devemos decidir quais das afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) e (D).
I - O núcleo de
II - Para algum
Devemos decidir quais das afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) e (D).
Passo 2
Vamos entender precisamente o que cada afirmativa diz (sem provar nada ainda), para não nos perder:
- O núcleo (ou núcleo) de
é o conjunto
Dizer que
é diferente de
significa que existe algum vetor
tal que
. Em termos práticos: a equação homogênea
teria uma solução não nula.
- A afirmativa II diz que existe algum vetor
para o qual o sistema é impossível (inconsistente). Em linguagem de espaços: existe que não pertence ao espaço gerado pelas colunas de (coluna espaço/imagem).
Passo 3
Agora vamos ligar
a propriedades algébricas intuitivas. Uma interpretação clássica e fácil de usar é esta:
- As colunas de
são vetores em . Se , essas colunas são linearmente independentes e formam uma base (portanto geram todo ). Se , então as colunas são linearmente dependentes: alguma combinação linear não trivial das colunas dá o vetor zero.
Vou explicar essa ligação de forma direta e sem jargão: o determinante mede (entre outras interpretações) o “volume” do paralelepípedo formado pelas colunas. Se esse volume é zero (), as colunas estão “no mesmo plano” de dimensão menor que ; elas não conseguem preencher todo , logo são linearmente dependentes.
Passo 4
Usando essa frase feita sobre dependência linear, vemos imediatamente uma consequência para a afirmativa I:
- Se as colunas são linearmente dependentes, existem escalares
, nem todos nulos, tais que
onde
é a
-ésima coluna de
. Mas essa igualdade é exatamente a equação matricial
com
, e como nem todos os
são zero, encontramos uma solução não trivial do sistema homogêneo. Isso significa que
Portanto, a afirmativa I é verdadeira. (Resumo do raciocínio:
colunas dependentes
existe
com
.)
Passo 5
Agora a afirmativa II. Precisamos ver se quando
existe algum
para o qual
não tem solução. Use este raciocínio:
- As soluções de
existem precisamente quando pertence ao subespaço gerado pelas colunas de , que chamamos de ou imagem de . - Como já vimos,
implica que as colunas são linearmente dependentes, então . Ou seja, as colunas geram um subespaço próprio de , não todo . - Logo existem vetores
que não estão em . Para esses o sistema não terá solução. Assim, a afirmativa II também é verdadeira.
Passo 6
Para fixar a ideia, vou mostrar um exemplo concreto (isso ajuda muito na prova para ver que o caso realmente ocorre). Tome
Aqui
. As colunas são múltiplas uma da outra, logo dependentes. Verificamos a afirmativa I encontrando um vetor não nulo no kernel: escolha
. Calculando,
portanto
e está no kernel. Para a afirmativa II, escolha
. O sistema
é incompatível: multiplicando a primeira equação por
, que contradiz a segunda equação
. Logo não existe solução para esse
. Isso ilustra que ambas as afirmativas são verdadeiras na prática.]
Passo 7
Conclusão lógica: a partir de
já mostramos que existe solução não trivial do homogêneo (I é verdadeira) e que a imagem de
é um subespaço próprio de
, logo existem vetores
fora da imagem para os quais
não tem solução (II é verdadeira). Portanto ambas as afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(D)