Q1: Considere A uma matriz cujas colunas são formadas pelos vetores \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3} \in \mathbb{R}^{3}. Seja B uma matriz cujas colunas \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3} satisfazem: \vec{b}_{1}=6 \vec{a}_{1}+6 \vec{a}_{2}+5 \vec{a}_{3}, \vec{b}_{2}=7 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+6 \vec{a}_{3} e \vec{b}_{3}=2 \vec{a}_{1}+7 \vec{a}_{2}+7 \vec{a}_{3}.
Sabendo que \operatorname{det}(A)=4, assinale o valor do \operatorname{det}(B) :
(A) -48
(B) -44
(C) -40
(D) -36
(E) -32
(F) -28
(G) -24
(H) -20
Passo 1
O enunciado dá: as colunas de A são os vetores \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}\in\mathbb{R}^{3}. As colunas de B são \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3} e elas satisfazem
Também sabemos que \det(A)=4. A pergunta é: qual é \det(B)? Listei todas as informações relevantes acima.
Passo 2
Vamos entender a relação matricial entre A e B. Se as colunas de A são \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 e cada \vec{b}_j é uma combinação linear dessas colunas, podemos escrever
B = A\;C,
onde C é a matriz 3\times3 cujas colunas são os vetores de coeficientes que aparecem nas combinações. Explicitamente, a primeira coluna de C é \begin{pmatrix}6\\\ 6\\\ 5\end{pmatrix}, a segunda é \begin{pmatrix}7\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix} e a terceira é \begin{pmatrix}2\\\ 7\\\ 7\end{pmatrix}. Portanto
Agora a propriedade chave que vamos usar: para duas matrizes quadradas A e C de mesma ordem vale
\det(AC)=\det(A)\det\text{(C)}.
Explicando de forma simples: a transformação linear representada por AC é a composição das transformações representadas por C e por A; o determinante mede a razão de escala de volumes, e a escala da composição é o produto das escalas individuais. Logo, para obter \det(B) basta calcular \det(A) e \det\text{(C)} e multiplicar.
Passo 4
Vamos calcular \det\text{(C)}. Reescrevo C para trabalhar:
Faço operações elementares de linha que não alteram o determinante: substituo R_2\leftarrow R_2-R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Essas operações (trocar uma linha pela soma dela com múltiplo de outra) preservam o determinante. Obtém-se
Usando a propriedade multiplicativa do determinante (Passo 3), temos
\det(B)=\det(A)\det\text{(C)}.
Como \det(A)=4 (dado) e \det\text{(C)}=-5 (Passo 5), segue que
\det(B)=4\cdot(-5)=-20.
Calma — deu certo! Você já consegue ver como usar combinações lineares das colunas para montar a matriz de coeficientes e reduzir o problema ao cálculo de um determinante 3×3.