Calcule operatorname{det} A, para uma matriz A antissimétrica:
de ordem três;

Passo 1

O enunciado pede o valor de \det(A) para uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} antissimétrica, isto é, satisfazendo
A^{T} = -A.
Para resolver, vamos usar duas propriedades de determinantes:
  1. \det(A^{T}) = \det(A).
  2. \det(cA) = c^{n}\det(A) quando A é n\times n.

Passo 2

Aplicando a primeira propriedade à igualdade A^{T} = -A, temos
\det(A^{T}) = \det(-A).
Pela propriedade 1 isso vira
\det(A) = \det(-A).
Pela propriedade 2, como A é 3\times3,
\det(-A) = (-1)^{3}\det(A) = -\det(A).

Passo 3

Substituindo em \det(A) = \det(-A), obtemos
\det(A) = -\det(A).
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2\,\det(A)=0 \quad\Longrightarrow\quad \det(A)=0.

Resposta

\det(A)=0

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