Calcule operatorname{det} A, para uma matriz A antissimétrica:
de ordem dois;

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz antissimétrica (ou seja, skew-symmetric) de ordem dois. Vamos usar duas ideias principais: (i) em qualquer matriz antissimétrica os elementos da diagonal principal são zero e os elementos fora da diagonal satisfazem a_{ij}=-a_{ji}; (ii) a fórmula do determinante para matriz 2\times2.

Passo 2

Pela propriedade antissimétrica, uma matriz A de ordem dois tem a forma
A = \begin{pmatrix} 0 & a\\\\ -a & 0 \end{pmatrix},
onde a=a_{12} e, necessariamente, a_{21}=-a.

Passo 3

O determinante de uma matriz 2\times2 \bigl(\begin{smallmatrix}p & q\\\ r & s\end{smallmatrix}\bigr) é dado por
\det = p\,s - q\,r.
No nosso caso, p=0, q=a, r=-a e s=0. Logo,
\det A = (0)\cdot(0) \;-\; (a)\cdot(-a) \;=\; a^2.

Resposta

\det A = a^2

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