Calcule operatorname{det} A, para uma matriz A antissimétrica:
de ordem quatro;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \det A, onde A é uma matriz antissimétrica (ou seja, A^T=-A) de ordem quatro. Para resolver, vamos usar a definição de matriz antissimétrica e a relação geral entre determinante e Pfaffiano em matrizes antissimétricas de ordem par.

Passo 2

Como A é antissimétrica de ordem quatro, temos
A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\\\ -a_{12}& 0 & a_{23} & a_{24}\\\\ -a_{13}& -a_{23}& 0 & a_{34}\\\\ -a_{14}& -a_{24}& -a_{34}& 0 \end{pmatrix},
com a_{ij}=-a_{ji} e todos os a_{ii}=0.

Passo 3

Há um resultado clássico que diz que, para matrizes antissimétricas de ordem par 2n, vale
\det A = \bigl(\mathrm{Pf}(A)\bigr)^2,
onde \mathrm{Pf}(A) é o Pfaffiano de A.

Passo 4

No caso n=2 (matriz 4\times4), o Pfaffiano é dado por
\mathrm{Pf}(A) = a_{12}\,a_{34} - a_{13}\,a_{24} + a_{14}\,a_{23}.

Passo 5

Portanto, juntando tudo, obtemos
\det A \;=\;\bigl(\mathrm{Pf}(A)\bigr)^2 =\bigl(a_{12}\,a_{34}-a_{13}\,a_{24}+a_{14}\,a_{23}\bigr)^{2}.

Resposta

\det A = \bigl(a_{12}\,a_{34} - a_{13}\,a_{24} + a_{14}\,a_{23}\bigr)^{2}.

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