Calcule \operatorname{det} M, onde:
M=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 & 1 \\\\ 4 & 5 & 7 & 6\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz M. Aqui estão as informações que temos, escritas com cuidado:
M=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 & 1 \\\\ 3 & 3 & 4 & 1 \\\\ 4 & 5 & 7 & 6 \end{pmatrix}
A pergunta explícita é: calcular \det M. Não há outras informações ou figuras; só a matriz acima.

Passo 2

Estratégia e propriedades úteis (mini-aula rápida e prática):
  • Para facilitar o cálculo de determinantes de matrizes maiores, uma boa técnica é expandir por cofatores numa linha ou coluna com muitos zeros. Aqui a primeira linha tem dois zeros, então é uma ótima escolha.
  • Regra de cofatores: se \,a_{1j} é o elemento da primeira linha e C_{1j} o cofator, então
\det M=\sum_{j=1}^{4} a_{1j}C_{1j}.
  • O cofator C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}), onde M_{1j} é a matriz obtida de M removendo a linha 1 e a coluna j.
  • Como a terceira e quarta entrada da primeira linha são zero, só precisamos calcular os cofatores para j=1 e j=2.
  • Escrevo explícito: com a_{11}=1 e a_{12}=-1,
\det M = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12} =1\cdot C_{11}+(-1)\cdot C_{12}.
Como C_{12}=(-1)^{1+2}\det(M_{12})=-\det(M_{12}), temos
\det M = \det(M_{11}) + \det(M_{12}).
Agora vou calcular as duas matrizes 3\times3 e seus determinantes.

Passo 3

Formação e cálculo de \det(M_{11}):
  • A submatriz M_{11} (removendo linha 1 e coluna 1) é
M_{11}=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\\\ 3 & 4 & 1 \\\\ 5 & 7 & 6 \end{pmatrix}.
  • Fórmula para determinante de 3\times3: se
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i\end{pmatrix},
então
\det A = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg).
  • Aplicando a fórmula em M_{11} com a=2, b=-2, c=1, d=3, e=4, f=1, g=5, h=7, i=6:
    • Calcule ei - fh = 4\cdot6 - 1\cdot7 = 24 - 7 = 17.
    • Calcule di - fg = 3\cdot6 - 1\cdot5 = 18 - 5 = 13.
    • Calcule dh - eg = 3\cdot7 - 4\cdot5 = 21 - 20 = 1.
  • Agora combine:
\det(M_{11}) = 2\cdot 17 - (-2)\cdot 13 + 1\cdot 1.
  • Faça as contas passo a passo:
    • 2\cdot17 = 34.
    • -(-2)\cdot13 = +2\cdot13 = 26.
    • 1\cdot1 = 1.
  • Somando: 34 + 26 + 1 = 61.
    Logo \det(M_{11})=61.

Passo 4

Formação e cálculo de \det(M_{12}):
  • A submatriz M_{12} (removendo linha 1 e coluna 2) é
M_{12}=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 1 \\\\ 3 & 4 & 1 \\\\ 4 & 7 & 6 \end{pmatrix}.
  • Usamos a mesma fórmula do passo anterior. Agora a=0, b=-2, c=1, d=3, e=4, f=1, g=4, h=7, i=6.
    • Calcule ei - fh = 4\cdot6 - 1\cdot7 = 24 - 7 = 17.
    • Calcule di - fg = 3\cdot6 - 1\cdot4 = 18 - 4 = 14.
    • Calcule dh - eg = 3\cdot7 - 4\cdot4 = 21 - 16 = 5.
  • Combine na fórmula:
\det(M_{12}) = 0\cdot 17 - (-2)\cdot 14 + 1\cdot 5.
  • Faça as contas:
    • 0\cdot17 = 0.
    • -(-2)\cdot14 = +2\cdot14 = 28.
    • 1\cdot5 = 5.
  • Somando: 0 + 28 + 5 = 33.
    Logo \det(M_{12})=33.

Passo 5

Conclusão (juntando os resultados):
  • Lembre que \det M = \det(M_{11}) + \det(M_{12}).
  • Substituindo os valores encontrados:
\det M = 61 + 33.
  • Faça a soma: 61 + 33 = 94.

Resposta

94

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