Calcule \operatorname{det} M, onde: M=\left(\begin{array}{cccc}0 & a & b & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\ a & a & 0 & b \\\\ 1 & b & a & 0\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para calcular \det M, onde
M=\begin{pmatrix} 0 & a & b & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\ a & a & 0 & b \\\\ 1 & b & a & 0 \end{pmatrix}.
Informações relevantes: os elementos da primeira coluna são \,0,0,a,1, o que indica que uma expansão por cofactores nessa coluna terá termos nulos nas duas primeiras linhas. O objetivo final é obter uma expressão fechada de \det M em função de \,a e \,b.
Passo 2
Vou usar a expansão por cofactores (expansão de Laplace) ao longo da primeira coluna porque há zeros que simplificam os cálculos. Lembro a fórmula de expansão por cofactores: para uma matriz n\times n,
onde m_{ij} é o elemento da matriz na linha i e coluna j e M_{ij} é a menor obtida ao eliminar a linha i e a coluna j. Aqui escolhemos j=1.
Passo 3
Aplicando a expansão na primeira coluna, os termos correspondentes a i=1 e i=2 são nulos (pois m_{11}=0 e m_{21}=0). Restam os termos i=3 e i=4. Assim
\det M = (-1)^{3+1}m_{31}\det(M_{31}) + (-1)^{4+1}m_{41}\det(M_{41}).
Como m_{31}=a e m_{41}=1, isso é
\det M = a\det(M_{31}) - \det(M_{41}),
pois (-1)^{3+1}=+1 e (-1)^{4+1}=-1.
Passo 4
Agora escrevo explicitamente as menores M_{31} e M_{41}:
Ao eliminar a linha 3 e a coluna 1, a menor M_{31} é a matriz 3\times3
M_{31}=\begin{pmatrix} a & b & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\ b & a & 0 \end{pmatrix}.
Ao eliminar a linha 4 e a coluna 1, a menor M_{41} é
M_{41}=\begin{pmatrix} a & b & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\ a & 0 & b \end{pmatrix}.
Passo 5
Calculo \det(M_{31}). Observando M_{31}, a segunda linha é (1,0,0), o que facilita expandir por essa linha. Pela regra de cofactores na linha 2:
\det(M_{31}) = (-1)^{2+1}\cdot 1\cdot \det\!\begin{pmatrix} b & 1 \\\ a & 0 \end{pmatrix}.
Aqui removi a linha 2 e a coluna 1 da M_{31}. O sinal é (-1)^{3}=-1. O determinante do 2\times2 é, pela fórmula \det\begin{pmatrix} p & q \\\ r & s \end{pmatrix}=ps-qr,
\det\begin{pmatrix} b & 1 \\\ a & 0 \end{pmatrix} = b\cdot 0 - 1\cdot a = -a.
Portanto
\det(M_{31}) = -1 \cdot 1 \cdot (-a) = a.
Passo 6
Calculo \det(M_{41}). De novo a segunda linha é (1,0,0), então expandindo por essa linha:
\det(M_{41}) = (-1)^{2+1}\cdot 1\cdot \det\!\begin{pmatrix} b & 1 \\\\ 0 & b \end{pmatrix}.
O sinal é -1. O 2\times2 tem determinante
\det\begin{pmatrix} b & 1 \\\\ 0 & b \end{pmatrix} = b\cdot b - 1\cdot 0 = b^{2}.
Logo
\det(M_{41}) = -1 \cdot 1 \cdot b^{2} = -b^{2}.
Passo 7
Agora substituo os resultados obtidos em \det M = a\det(M_{31}) - \det(M_{41}). Como \det(M_{31})=a e \det(M_{41})=-b^{2}, temos