Demonstre por indução:
5+9+13+\ldots+4 n+1=\frac{(4 n+6) n}{2}

Passo 1

O enunciado pede que demonstremos por indução a igualdade
5+9+13+\ldots+4n+1=\frac{(4n+6)n}{2}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{os termos da soma são }5,9,13,\ldots,\text{ e o termo genérico é }4k+1\text{ para }k=1,2,\dots,n.ãéé
Logo a soma à esquerda pode ser escrita como
\sum_{k=1}^{n}(4k+1).

Passo 2

O que é uma prova por indução (explicação didática, sem pressa):
  • Primeiro verificamos a base: mostramos que a igualdade vale para um primeiro valor natural (normalmente n=1).
  • Depois fazemos o passo indutivo: assumimos que a fórmula vale para um certo n qualquer (essa é a hipótese de indução) e, usando essa hipótese, provamos que a fórmula também vale para n+1.
  • Se os dois passos (base e indutivo) estão corretos, concluímos que a fórmula vale para todo n natural (porque vale para 1, então para 2, daí para 3, e assim por diante — é como subir degraus sabend o que acontece em cada subida).
Vamos aplicar isso com calma no nosso problema.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Calculamos o lado esquerdo e o lado direito para n=1:
\text{LHS} = 5
\text{RHS} = \frac{(4\cdot 1+6)\cdot 1}{2} = \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} = 5.
Como LHS = RHS, a igualdade é verdadeira para n=1. A base está comprovada.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja verdadeira para um n fixo qualquer, isto é, suponha que
\sum_{k=1}^{n}(4k+1)=\frac{(4n+6)n}{2}.
Isso não é uma afirmação que estamos provando agora — é uma suposição temporária que usaremos para avançar ao caso n+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar que a igualdade vale para n+1.
Escrevemos a soma até n+1 como a soma até n mais o termo (n+1)-ésimo:
\sum_{k=1}^{n+1}(4k+1)=\sum_{k=1}^{n}(4k+1)+(4(n+1)+1).
Agora usamos a hipótese de indução para substituir \sum_{k=1}^{n}(4k+1):
\sum_{k=1}^{n+1}(4k+1)=\frac{(4n+6)n}{2}+(4n+5).
Colocamos tudo sobre o mesmo denominador 2:
\sum_{k=1}^{n+1}(4k+1)=\frac{(4n+6)n+2(4n+5)}{2}.
Calculamos os produtos no numerador passo a passo:
(4n+6)n=4n^2+6n,
2(4n+5)=8n+10.
Somando:
4n^2+6n+8n+10=4n^2+14n+10.
Portanto
\sum_{k=1}^{n+1}(4k+1)=\frac{4n^2+14n+10}{2}.
Fatoramos o numerador para reconhecer a forma desejada:
4n^2+14n+10=(n+1)(4n+10).
Logo
\sum_{k=1}^{n+1}(4k+1)=\frac{(n+1)(4n+10)}{2}.
Note que 4n+10=4(n+1)+6, então podemos reescrever
\sum_{k=1}^{n+1}(4k+1)=\frac{(4(n+1)+6)(n+1)}{2},
que é exatamente a fórmula desejada com n substituído por n+1. Assim fechamos o passo indutivo.

Passo 6

Conclusão final da indução: como a igualdade vale para n=1 (base) e mostramos que sempre que vale para n vale para n+1 (passo indutivo), pela propriedade da indução matemática a igualdade vale para todo n\in\mathbb{N}. Mandou bem por aguentar até aqui — deu trabalho, mas a ideia é sempre a mesma: base + hipótese + subida do degrau.

Resposta

5+9+13+\ldots+4n+1=\frac{(4n+6)n}{2}\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}

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