Demonstre por indução:
Passo 1
O enunciado pede que demonstremos por indução a igualdade
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Logo a soma à esquerda pode ser escrita como
Passo 2
O que é uma prova por indução (explicação didática, sem pressa):
- Primeiro verificamos a base: mostramos que a igualdade vale para um primeiro valor natural (normalmente
). - Depois fazemos o passo indutivo: assumimos que a fórmula vale para um certo
qualquer (essa é a hipótese de indução) e, usando essa hipótese, provamos que a fórmula também vale para . - Se os dois passos (base e indutivo) estão corretos, concluímos que a fórmula vale para todo
natural (porque vale para , então para , daí para , e assim por diante — é como subir degraus sabend o que acontece em cada subida).
Vamos aplicar isso com calma no nosso problema.
Passo 3
Base da indução (
). Calculamos o lado esquerdo e o lado direito para
:
Como LHS
RHS, a igualdade é verdadeira para
. A base está comprovada.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja verdadeira para um
fixo qualquer, isto é, suponha que
Isso não é uma afirmação que estamos provando agora — é uma suposição temporária que usaremos para avançar ao caso
.
Passo 5
Passo indutivo: provar que a igualdade vale para
.
Escrevemos a soma até
como a soma até
mais o termo
-ésimo:
Agora usamos a hipótese de indução para substituir
:
Colocamos tudo sobre o mesmo denominador
:
Calculamos os produtos no numerador passo a passo:
Somando:
Portanto
Fatoramos o numerador para reconhecer a forma desejada:
Logo
Note que
, então podemos reescrever
que é exatamente a fórmula desejada com
substituído por
. Assim fechamos o passo indutivo.
Passo 6
Conclusão final da indução: como a igualdade vale para
(base) e mostramos que sempre que vale para
vale para
(passo indutivo), pela propriedade da indução matemática a igualdade vale para todo
. Mandou bem por aguentar até aqui — deu trabalho, mas a ideia é sempre a mesma: base + hipótese + subida do degrau.