Informações relevantes dadas: a matriz M é quadrada de ordem 4 e os seus elementos estão todos explicitados na matriz acima. A única pergunta é o valor do determinante de M.
Passo 2
Vou usar operações elementares de linha para simplificar a matriz e reduzir o cálculo do determinante a um determinante de ordem menor. Antes de começar a operar, vamos revisar rapidamente propriedades fundamentais que eu vou usar (explicadinho, como se eu estivesse do seu lado na prova).
Se eu somar a uma linha um múltiplo de outra linha, o determinante não muda. Em notação: substituir R_i por R_i + kR_j (com i\neq j) deixa \det inalterado. Isso é muito útil para criar zeros e simplificar.
Se a matriz está triangular (todos os elementos abaixo da diagonal são zero, por exemplo), o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
Para reduzir de 4\times4 para 3\times3, é prático criar zeros na primeira coluna abaixo de a_{11}; então \det M = a_{11} vezes o determinante do submatriz 3×3 obtida (quando a primeira coluna tem forma (a_{11},0,0,0)^T), ou mais geralmente usar expansão por cofatores em uma linha/coluna com muitos zeros.
Como exemplo simples (para fixar): para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
o determinante é ad-bc. Vou usar esse fato ao calcular menores 2\times2.
Agora aplico operações em M lembrando que somar múltiplos de uma linha em outra não altera o determinante.
Passo 3
Eliminação na primeira coluna. Quero zeros embaixo de a_{11}=1. Faço:
Com a primeira coluna tendo valores (1,0,0,0)^T exceto o primeiro, podemos fazer expansão por cofatores na primeira coluna (ou observar que o determinante é 1 vezes o determinante do bloco 3\times3 obtido removendo a primeira linha e primeira coluna). Portanto
\det B = b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32}) - b_{12}(b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31}) + b_{13}(b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31}).
Aqui cada produto como b_{22}b_{33} é o produto de elementos diagonais do menor 2\times2 correspondente, e os sinais +,-,+ vêm do padrão dos cofatores (explicação: alternância de sinais conforme posição).