Calcule \operatorname{det} M, onde:
M=\left(\begin{array}{llll}1 & 3 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \operatorname{det} M, onde
M=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: a matriz M é quadrada de ordem 4 e os seus elementos estão todos explicitados na matriz acima. A única pergunta é o valor do determinante de M.

Passo 2

Vou usar operações elementares de linha para simplificar a matriz e reduzir o cálculo do determinante a um determinante de ordem menor. Antes de começar a operar, vamos revisar rapidamente propriedades fundamentais que eu vou usar (explicadinho, como se eu estivesse do seu lado na prova).
  • Se eu somar a uma linha um múltiplo de outra linha, o determinante não muda. Em notação: substituir R_i por R_i + kR_j (com i\neq j) deixa \det inalterado. Isso é muito útil para criar zeros e simplificar.
  • Se a matriz está triangular (todos os elementos abaixo da diagonal são zero, por exemplo), o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
  • Para reduzir de 4\times4 para 3\times3, é prático criar zeros na primeira coluna abaixo de a_{11}; então \det M = a_{11} vezes o determinante do submatriz 3×3 obtida (quando a primeira coluna tem forma (a_{11},0,0,0)^T), ou mais geralmente usar expansão por cofatores em uma linha/coluna com muitos zeros.
Como exemplo simples (para fixar): para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
o determinante é ad-bc. Vou usar esse fato ao calcular menores 2\times2.
Agora aplico operações em M lembrando que somar múltiplos de uma linha em outra não altera o determinante.

Passo 3

Eliminação na primeira coluna. Quero zeros embaixo de a_{11}=1. Faço:
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Essas operações não mudam \det M. Vamos calcular as linhas novas explicitamente.
Linha R_1 permanece (1,3,2,0).
Para R_2 - 3R_1:
R_2 = (3,1,0,2) - 3(1,3,2,0) = (3-3,\;1-9,\;0-6,\;2-0) = (0,\;-8,\;-6,\;2).
Para R_3 - 2R_1:
R_3 = (2,3,0,1) - 2(1,3,2,0) = (2-2,\;3-6,\;0-4,\;1-0) = (0,\;-3,\;-4,\;1).
Linha R_4 permanece (0,2,1,3).
A matriz transformada é
M'=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0 \\\\ 0 & -8 & -6 & 2 \\\\ 0 & -3 & -4 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Com a primeira coluna tendo valores (1,0,0,0)^T exceto o primeiro, podemos fazer expansão por cofatores na primeira coluna (ou observar que o determinante é 1 vezes o determinante do bloco 3\times3 obtido removendo a primeira linha e primeira coluna). Portanto
\det M = 1 \cdot \det B,
onde
B=\begin{pmatrix} -8 & -6 & 2\\\\ -3 & -4 & 1\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}
é a submatriz obtida das linhas 2,3,4 e colunas 2,3,4 de M'.
Então basta calcular \det B.

Passo 5

Para calcular o determinante de um 3\times3 vou usar a fórmula de expansão pela primeira linha (a fórmula é padrão e eu explico):
Para
B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\\\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix},
temos
\det B = b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32}) - b_{12}(b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31}) + b_{13}(b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31}).
Aqui cada produto como b_{22}b_{33} é o produto de elementos diagonais do menor 2\times2 correspondente, e os sinais +,-,+ vêm do padrão dos cofatores (explicação: alternância de sinais conforme posição).
Agora aplico essa fórmula com os valores de B:
b_{11}=-8,\quad b_{12}=-6,\quad b_{13}=2,
b_{21}=-3,\quad b_{22}=-4,\quad b_{23}=1,
b_{31}=2,\quad b_{32}=1,\quad b_{33}=3.

Passo 6

Calcule termo a termo.
  1. Primeiro termo:
b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32}) = -8\big((-4)\cdot 3 - 1\cdot 1\big).
Dentro do parêntese: (-4)\cdot 3 = -12 e 1\cdot 1 = 1, então
(-4)\cdot 3 - 1\cdot 1 = -12 - 1 = -13.
Portanto o primeiro termo é
-8\cdot (-13) = 104.
  1. Segundo termo:
- b_{12}(b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31}) = -(-6)\big((-3)\cdot 3 - 1\cdot 2\big).
Dentro: (-3)\cdot 3 = -9 e 1\cdot 2 = 2, então
(-3)\cdot 3 - 1\cdot 2 = -9 - 2 = -11.
Então
-(-6)\cdot (-11) = 6\cdot (-11) = -66.
  1. Terceiro termo:
b_{13}(b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31}) = 2\big((-3)\cdot 1 - (-4)\cdot 2\big).
Dentro: (-3)\cdot 1 = -3 e (-4)\cdot 2 = -8, então
-3 - (-8) = -3 + 8 = 5.
Logo o terceiro termo é
2\cdot 5 = 10.
Agora somo os três termos:
\det B = 104 + (-66) + 10 = 104 - 66 + 10 = 38 + 10 = 48.

Passo 7

Voltando ao vínculo com \det M: como \det M = 1\cdot \det B (veja Passo 4), concluímos que
\det M = 48.

Resposta

48

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