Informações dadas: os elementos da matriz estão explícitos nas linhas e colunas acima. A tarefa é encontrar \det(A).
Passo 2
Uma propriedade fundamental de determinantes que vamos usar: substituir uma linha por ela menos um múltiplo de outra linha não altera o valor do determinante. Em notação de operações elementares, a operação
R_j \leftarrow R_j - k\,R_i
com i\neq j e k escalar não muda \det. Explicação curta e didática: o determinante é linear em cada linha separadamente; ao escrever a nova linha como soma da linha antiga e de k vezes outra linha, a expansão do determinante se separa em duas parcelas — uma é o determinante original e a outra tem duas linhas iguais (que vale zero). Portanto sobra somente o determinante original. Isso é útil porque nos permite transformar a matriz numa forma mais simples (por exemplo triangular) sem alterar \det.
Exemplo rápido para fixar a ideia: se tivermos
B=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
e fazemos R_2\leftarrow R_2-R_1, a nova matriz é
\begin{pmatrix} a & b \\\ c-a & d-b \end{pmatrix},
e de fato \det(B)=ad-bc continua sendo igual ao determinante da nova matriz (pode-se verificar expandindo).
Passo 3
Vamos aplicar operações do tipo R_j\leftarrow R_j - R_{j-1} (subtrair a linha anterior) de cima para baixo. Essas operações não alteram o determinante, então após elas teremos uma matriz equivalente para o cálculo.
Primeiro: R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
R_2 = (1,2,2,2) - (1,1,1,1) = (0,1,1,1).
Segundo: R_3 \leftarrow R_3 - R_2, mas atenção: aqui usamos a linha original R_2 ou a já modificada? É mais claro fazer sempre em sequência usando a linha imediatamente acima já transformada, ou seja usamos a versão anterior. Se fizermos em sequência:
após primeiro passo a matriz ficou
Mas podemos obter mais simplificação se em vez disso subtrairmos sempre a linha imediatamente acima da original: para ficar direto e simples, é conveniente subtrair sempre a linha anterior da versão original em cadeia como segue: fazemos as transformações
No entanto, o caminho mais direto e habitual é subtrair a linha anterior já transformada, começando de cima para baixo — isso leva à matriz triangular que queremos. Vamos seguir esse procedimento clássico (usar a linha anterior já modificada). Continuando corretamente em sequência:
Perceba que ainda podemos continuar simplificando: é mais direto e elegante fazer as subtrações iniciais todas em relação à linha imediatamente anterior da matriz original de forma que se obtenha uma matriz estritamente triangular com zeros abaixo da diagonal. Vou agora aplicar a sequência alternativa e muito usada: substituir cada linha R_k por R_k - R_{k-1} usando as linhas originais enumeradas (isto produz diretamente):
Tomando as linhas originais R_1^{(0)},R_2^{(0)},R_3^{(0)},R_4^{(0)} definidas no início, façamos as operações
onde em cada passo as subtrações usam as linhas originais correspondentes ao enunciado (isto é uma forma de ver a transformação em cadeia que leva ao resultado limpo). Assim calculamos diretamente:
R_2 - R_1 = (1,2,2,2)-(1,1,1,1)=(0,1,1,1).
R_3 - R_2 = (1,2,3,3)-(1,2,2,2)=(0,0,1,1). (aqui eu usei explicitamente os R_2 e R_3 originais do enunciado; essa é uma operação válida vista como combinar operações elementares em sequência — é consistente com as propriedades usadas)
R_4 - R_3 = (1,2,3,4)-(1,2,3,3)=(0,0,0,1).
Aplicando essas subtrações obtemos imediatamente a matriz
Reforço: cada uma das operações do tipo R_j\leftarrow R_j-R_{j-1} não altera \det(A), então \det(A)=\det(A').
Passo 4
Agora observe A' é uma matriz triangular superior: todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para matrizes triangulares (superior ou inferior), vale uma propriedade simples e muito útil:
o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Em fórmulas,
A explicação intuitiva: ao desenvolver por cofactores ou usar eliminação gaussiana sem trocar linhas, as únicas contribuições que sobrevivem multiplicativamente são os elementos da diagonal.
No nosso caso, a diagonal de A' é (1,1,1,1). Portanto
\det(A') = 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1 = 1.
Passo 5
Como não alteramos o determinante ao transformar A em A', concluímos que
\det(A)=\det(A')=1.
Respira, deu certo — o determinante é 1. Isso é consistente com a intuição: a matriz é do tipo “matriz de Pascal” acumulada e suas operações de diferença produziram a identidade superior triangular com uns na diagonal.