A pergunta é calcular A+2B. Listei acima todas as entradas dos determinantes, que são as informações relevantes fornecidas pelo enunciado.
Passo 2
Vou explicar as propriedades de determinante que usarei (resumão prático e intuitivo):
Se trocamos duas linhas de uma matriz, o determinante muda de sinal. Em símbolos: trocar R_i e R_j faz \det\mapsto -\det.
Somar a múltiplos de uma linha a outra linha não altera o determinante. Em símbolos: R_i\leftarrow R_i + kR_j deixa \det inalterado.
Se uma linha (ou coluna) for toda zero, o determinante é zero.
Para calcular um determinante já com muitos zeros, é muito prático expandir por uma linha ou coluna com zeros; se apenas uma entrada não nula fica numa coluna, o determinante se reduz ao cofator correspondente.
Exemplo simples (2×2) para lembrar a fórmula:
\begin{vmatrix}a & b \\\ c & d\end{vmatrix} = ad-bc,
onde a,b,c,d são as entradas. Agora aplico essas regras nos determinantes dados.
Agora observe a primeira coluna: só tem a entrada 1 na posição (1,1) e zeros abaixo. Portanto podemos expandir por essa coluna; o determinante de A_1 é o cofator da posição (1,1) multiplicado por 1. Ou seja
\det(A_1)=1\cdot\det(M),
onde M é o menor 3\times3 obtido eliminando a primeira linha e a primeira coluna:
Note que a segunda coluna de M é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} (peguei esse dado da matriz transformada acima). Um determinante cujo uma coluna é toda zero vale zero. Portanto
Faço a operação R_4 \leftarrow R_4 + R_1. Essa operação (somar uma linha a outra) não altera o determinante. Assim a nova matriz (com mesmo determinante) é
Agora a primeira coluna tem só a entrada 1 na primeira linha; expandindo por essa coluna obtemos que \det(B) é igual ao determinante do menor 3\times3 formado pelas linhas 2–4 e colunas 2–4: