Dado A=\left|\begin{array}{cccc}3 & 4 & 6 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & -1 & 4 & 2 \\\\ 5 & 3 & 10 & 3\end{array}\right| e B=\left|\begin{array}{cccc}1 & 3 & 4 & 2 \\\\ 0 & -1 & 4 & 1 \\\\ 0 & 2 & -3 & 1 \\\\ -1 & -3 & -4 & 1\end{array}\right|. Calcule A+2 B. R.: -30

Passo 1

O enunciado dá os determinantes
A=\begin{vmatrix}3 & 4 & 6 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & -1 & 4 & 2 \\\\ 5 & 3 & 10 & 3\end{vmatrix}
e
B=\begin{vmatrix}1 & 3 & 4 & 2 \\\\ 0 & -1 & 4 & 1 \\\\ 0 & 2 & -3 & 1 \\\\ -1 & -3 & -4 & 1\end{vmatrix}.
A pergunta é calcular A+2B. Listei acima todas as entradas dos determinantes, que são as informações relevantes fornecidas pelo enunciado.

Passo 2

Vou explicar as propriedades de determinante que usarei (resumão prático e intuitivo):
  • Se trocamos duas linhas de uma matriz, o determinante muda de sinal. Em símbolos: trocar R_i e R_j faz \det\mapsto -\det.
  • Somar a múltiplos de uma linha a outra linha não altera o determinante. Em símbolos: R_i\leftarrow R_i + kR_j deixa \det inalterado.
  • Se uma linha (ou coluna) for toda zero, o determinante é zero.
  • Para calcular um determinante já com muitos zeros, é muito prático expandir por uma linha ou coluna com zeros; se apenas uma entrada não nula fica numa coluna, o determinante se reduz ao cofator correspondente.
    Exemplo simples (2×2) para lembrar a fórmula:
\begin{vmatrix}a & b \\\ c & d\end{vmatrix} = ad-bc,
onde a,b,c,d são as entradas. Agora aplico essas regras nos determinantes dados.

Passo 3

Cálculo de A.
Começo com
A=\begin{vmatrix}3 & 4 & 6 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & -1 & 4 & 2 \\\\ 5 & 3 & 10 & 3\end{vmatrix}.
Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2: R_1 \leftrightarrow R_2. Isso multiplica o determinante por -1. Chamo a nova matriz de A_1. Logo
\det(A)= -\det(A_1),
com
A_1=\begin{vmatrix}1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 3 & 4 & 6 & 0 \\\\ 2 & -1 & 4 & 2 \\\\ 5 & 3 & 10 & 3\end{vmatrix}.
Agora, uso operações do tipo R_i\leftarrow R_i - kR_1 (que não alteram o determinante) para zerar a primeira coluna abaixo da primeira linha:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 R_2=[0\;4\;0\;-3].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 R_3=[0\;-1\;0\;0].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 5R_1 R_4=[0\;3\;0\;-2].
A matriz fica
A_1=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 4 & 0 & -3 \\\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 & -2 \end{vmatrix}.
Agora observe a primeira coluna: só tem a entrada 1 na posição (1,1) e zeros abaixo. Portanto podemos expandir por essa coluna; o determinante de A_1 é o cofator da posição (1,1) multiplicado por 1. Ou seja
\det(A_1)=1\cdot\det(M),
onde M é o menor 3\times3 obtido eliminando a primeira linha e a primeira coluna:
M=\begin{pmatrix} 4 & 0 & -3 \\\\ -1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Note que a segunda coluna de M é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} (peguei esse dado da matriz transformada acima). Um determinante cujo uma coluna é toda zero vale zero. Portanto
\det(M)=0 \quad\Rightarrow\quad \det(A_1)=0.
Voltando,
\det(A) = -\det(A_1) = -0 = 0.

Passo 4

Cálculo de B.
Começo com
B=\begin{vmatrix}1 & 3 & 4 & 2 \\\\ 0 & -1 & 4 & 1 \\\\ 0 & 2 & -3 & 1 \\\\ -1 & -3 & -4 & 1\end{vmatrix}.
Faço a operação R_4 \leftarrow R_4 + R_1. Essa operação (somar uma linha a outra) não altera o determinante. Assim a nova matriz (com mesmo determinante) é
\begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 & 2 \\\\ 0 & -1 & 4 & 1 \\\\ 0 & 2 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}.
Agora a primeira coluna tem só a entrada 1 na primeira linha; expandindo por essa coluna obtemos que \det(B) é igual ao determinante do menor 3\times3 formado pelas linhas 2–4 e colunas 2–4:
\det(B)=1\cdot\det\!\begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \\\\ 2 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Nesse 3\times3 a terceira linha é (0\;0\;3). Expandindo por essa terceira linha (ou observando que só a entrada da terceira coluna é não nula), temos
\det\begin{pmatrix} -1 & 4 & 1 \\\\ 2 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} =3\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[2pt] 2 & -3\end{pmatrix},
pois o cofator correspondente tem sinal +1 ( (-1)^{3+3}=1). Agora o 2\times2 vale
\det\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[2pt] 2 & -3\end{pmatrix} = (-1)(-3)-4\cdot 2 = 3-8 = -5.
Portanto
\det(B) = 3\cdot(-5) = -15.]

Passo 5

Agora juntamos os resultados:
\det(A)=0,\qquad \det(B)=-15.
Logo
A+2B = 0 + 2\cdot(-15) = -30.

Resposta

-30

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