- Calcule
em
e em
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- É pedido calcular as singularidades chamadas resíduos de
nos pontos e . - A função dada é
. - Observação importante (informação do enunciado): os pontos
e são inteiros, onde tem singularidades, e cada um destes pontos é também zero de um dos fatores ou do denominador. Portanto devemos checar a ordem da singularidade em cada ponto antes de aplicar fórmulas.
Passo 2
Breve aula sobre resíduos e métodos que podemos usar (sem pular etapas).
- O resíduo de uma função meromorfa
em é o coeficiente do termo na expansão em série de Laurent de em torno de . - Métodos práticos para encontrar o resíduo:
- Se
é um polo simples (ordem ), então - Se
é um polo de ordem ( ), então existe a fórmula No caso (polo duplo),
- Se
- Outra ferramenta útil é a expansão em série de Laurent de funções conhecidas. Em particular, para pequenas
vale Logo, tomando , Observação útil: como é de período , a expansão ao redor de um inteiro é a mesma em termos da variável :
Passo 3
Determinar a ordem das singularidades em
e
.
- Em
: tem um pólo simples com termo principal . O denominador tem um fator , e também o fator que é não nulo em . Assim, ao multiplicar, o comportamento principal de em envolve dividido por , ou seja um termo . Concluímos que é um polo de ordem (polo duplo). - Em
: semelhante. Seja . Como tem pólo simples em inteiro , em termos de tem termo principal . O denominador tem o fator e o fator que em é . Novamente temos comportamento . Logo também é polo de ordem .
Portanto usaremos a fórmula para polo de ordem
:
Passo 4
Cálculo do resíduo em
usando a fórmula para polo duplo.
- Aplicando a fórmula com
: Defina e . Então a expressão dentro da derivada é . - Precisamos de
e . Para isso usamos a expansão: Multiplicando por : Assim e (não há termo linear). - Agora derivamos
. A derivada é Avaliando em : , , , . Portanto - Conclusão:
.
Passo 5
Cálculo do resíduo em
usando a fórmula para polo duplo (passo análogo, aproveitando periodicidade).
- Aplicando a fórmula com
: Defina e . A expressão dentro da derivada é . - Use a variável
para aproveitar a expansão em torno de . Pela periodicidade de (período ), a expansão em é Então Assim em (isto é ) temos e (novamente não há termo linear). - A derivada de
é Avaliando em : , , , . Portanto - Conclusão:
.