1. Calcule \operatorname{Res}\left(\frac{\pi \cot (\pi z)}{z(z+1)}\right) em z=0 e em z=-1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • É pedido calcular as singularidades chamadas resíduos de \displaystyle \frac{\pi \cot(\pi z)}{z(z+1)} nos pontos z=0 e z=-1.
  • A função dada é \displaystyle f(z)=\frac{\pi \cot(\pi z)}{z(z+1)}.
  • Observação importante (informação do enunciado): os pontos z=0 e z=-1 são inteiros, onde \cot(\pi z) tem singularidades, e cada um destes pontos é também zero de um dos fatores z ou (z+1) do denominador. Portanto devemos checar a ordem da singularidade em cada ponto antes de aplicar fórmulas.

Passo 2

Breve aula sobre resíduos e métodos que podemos usar (sem pular etapas).
  • O resíduo de uma função meromorfa f em z_0 é o coeficiente do termo (z-z_0)^{-1} na expansão em série de Laurent de f em torno de z_0.
  • Métodos práticos para encontrar o resíduo:
    1. Se z_0 é um polo simples (ordem 1), então \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).
    2. Se z_0 é um polo de ordem m ( m\ge 1), então existe a fórmula \operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\Big[(z-z_0)^m f(z)\Big].No caso m=2 (polo duplo), \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{d}{dz}\Big[(z-z_0)^2 f(z)\Big].
  • Outra ferramenta útil é a expansão em série de Laurent de funções conhecidas. Em particular, para pequenas w vale \cot w=\frac{1}{w}-\frac{w}{3}-\frac{w^3}{45}-\cdots.Logo, tomando w=\pi z, \pi\cot(\pi z)=\frac{1}{z}-\frac{\pi^2 z}{3}+O(z^3)\quad\text{quando }z\to 0.Observação útil: como \cot(\pi z) é de período 1, a expansão ao redor de um inteiro n é a mesma em termos da variável \zeta=z-n: \pi\cot(\pi z)=\frac{1}{\zeta}-\frac{\pi^2\zeta}{3}+O(\zeta^3),\qquad \zeta=z-n.

Passo 3

Determinar a ordem das singularidades em z=0 e z=-1.
  • Em z=0: \pi\cot(\pi z) tem um pólo simples com termo principal \dfrac{1}{z}. O denominador tem um fator z, e também o fator (z+1) que é não nulo em z=0. Assim, ao multiplicar, o comportamento principal de f em 0 envolve \dfrac{1}{z} dividido por z, ou seja um termo \dfrac{1}{z^2}. Concluímos que z=0 é um polo de ordem 2 (polo duplo).
  • Em z=-1: semelhante. Seja \zeta=z+1. Como \pi\cot(\pi z) tem pólo simples em inteiro -1, em termos de \zeta tem termo principal \dfrac{1}{\zeta}. O denominador tem o fator (z+1)=\zeta e o fator z que em z=-1 é -1\neq 0. Novamente temos comportamento \dfrac{1}{\zeta^2}. Logo z=-1 também é polo de ordem 2.
Portanto usaremos a fórmula para polo de ordem 2:
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{d}{dz}\Big[(z-z_0)^2 f(z)\Big].

Passo 4

Cálculo do resíduo em z=0 usando a fórmula para polo duplo.
  • Aplicando a fórmula com z_0=0: \operatorname{Res}\big(f,0\big)=\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\Big[z^2\cdot\frac{\pi\cot(\pi z)}{z(z+1)}\Big] =\lim_{z\to 0}\frac{d}{dz}\Big[\frac{z\;\pi\cot(\pi z)}{z+1}\Big].Defina u(z)=z\pi\cot(\pi z) e v(z)=z+1. Então a expressão dentro da derivada é g(z)=\dfrac{u(z)}{v(z)}.
  • Precisamos de u(0) e u'(0). Para isso usamos a expansão: \pi\cot(\pi z)=\frac{1}{z}-\frac{\pi^2 z}{3}+O(z^3).Multiplicando por z: u(z)=z\pi\cot(\pi z)=1-\frac{\pi^2 z^2}{3}+O(z^4).Assim u(0)=1 e u'(0)=0 (não há termo linear).
  • Agora derivamos g(z)=\dfrac{u(z)}{v(z)}. A derivada é g'(z)=\frac{u'(z)v(z)-u(z)v'(z)}{v(z)^2}.Avaliando em z=0: v(0)=1, v'(0)=1, u(0)=1, u'(0)=0. Portanto g'(0)=\frac{0\cdot 1 - 1\cdot 1}{1^2}=-1.
  • Conclusão: \displaystyle \operatorname{Res}\big(f,0\big)=-1.

Passo 5

Cálculo do resíduo em z=-1 usando a fórmula para polo duplo (passo análogo, aproveitando periodicidade).
  • Aplicando a fórmula com z_0=-1: \operatorname{Res}\big(f,-1\big)=\lim_{z\to -1}\frac{d}{dz}\Big[(z+1)^2\cdot\frac{\pi\cot(\pi z)}{z(z+1)}\Big] =\lim_{z\to -1}\frac{d}{dz}\Big[\frac{(z+1)\;\pi\cot(\pi z)}{z}\Big].Defina p(z)=(z+1)\pi\cot(\pi z) e q(z)=z. A expressão dentro da derivada é h(z)=\dfrac{p(z)}{q(z)}.
  • Use a variável \zeta=z+1 para aproveitar a expansão em torno de -1. Pela periodicidade de \cot (período 1), a expansão em \zeta é \pi\cot(\pi z)=\pi\cot(\pi(\zeta-1))=\pi\cot(\pi\zeta)=\frac{1}{\zeta}-\frac{\pi^2\zeta}{3}+O(\zeta^3).Então p(z)=(z+1)\pi\cot(\pi z)=\zeta\Big(\frac{1}{\zeta}-\frac{\pi^2\zeta}{3}+O(\zeta^3)\Big)=1-\frac{\pi^2\zeta^2}{3}+O(\zeta^4).Assim em z=-1 (isto é \zeta=0) temos p(-1)=1 e p'(-1)=0 (novamente não há termo linear).
  • A derivada de h(z)=\dfrac{p(z)}{q(z)} é h'(z)=\frac{p'(z)q(z)-p(z)q'(z)}{q(z)^2}.Avaliando em z=-1: q(-1)=-1, q'(-1)=1, p(-1)=1, p'(-1)=0. Portanto h'(-1)=\frac{0\cdot(-1)-1\cdot 1}{(-1)^2}=-1.
  • Conclusão: \displaystyle \operatorname{Res}\big(f,-1\big)=-1.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Res}\!\left(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z(z+1)},\,0\right)=-1
\displaystyle \operatorname{Res}\!\left(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z(z+1)},\,-1\right)=-1

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