1. Calcule \operatorname{Res}(\operatorname{ctg} z, n \pi)

Passo 1

O enunciado pede o resíduo de \operatorname{ctg} z no ponto z=n\pi, onde n é um inteiro. As informações relevantes que temos são:
  • \operatorname{ctg} z = \dfrac{\cos z}{\sin z}.
  • Os polos de \operatorname{ctg} z ocorrem onde \sin z=0, isto é, em z=n\pi.
    A tarefa é calcular \operatorname{Res}\bigl(\operatorname{ctg} z,\,n\pi\bigr) para inteiro n.

Passo 2

Recordando uma ferramenta básica: se uma função f tem um polo simples em z_0 e pode ser escrita como f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)} com g e h analíticas em z_0, g(z_0)\neq0 e h(z_0)=0 com h'(z_0)\neq0, então o resíduo em z_0 é
\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}.
Explicação curta do porquê: perto de z_0 tem-se h(z)\approx h'(z_0)(z-z_0), logo
f(z)=\frac{g(z)}{h(z)}\approx\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}\cdot\frac{1}{z-z_0},
portanto o coeficiente de (z-z_0)^{-1} (o resíduo) é g(z_0)/h'(z_0).
Essa é uma forma prática e elementar de obter o resíduo em um polo simples.

Passo 3

Aplicando essa regra à função \operatorname{ctg} z=\dfrac{\cos z}{\sin z}:
  • Tome g(z)=\cos z e h(z)=\sin z.
  • Em z_0=n\pi temos g(n\pi)=\cos(n\pi)=(-1)^n, \qquad h'(z)=\cos z\implies h'(n\pi)=\cos(n\pi)=(-1)^n.
Logo, pelo resultado do passo anterior,
\operatorname{Res}\bigl(\operatorname{ctg} z,\,n\pi\bigr)=\frac{g(n\pi)}{h'(n\pi)}=\frac{(-1)^n}{(-1)^n}=1.

Passo 4

Para reforçar a intuição, faço também o cálculo direto pela definição do resíduo para polo simples:
\operatorname{Res}\bigl(\operatorname{ctg} z,\,n\pi\bigr)=\lim_{z\to n\pi}(z-n\pi)\frac{\cos z}{\sin z}.
Colocando w=z-n\pi e usando as identidades trigonométricas,
\cos(z)=\cos(n\pi+w)=(-1)^n\cos w,\qquad \sin(z)=\sin(n\pi+w)=(-1)^n\sin w.
Assim a expressão fica
\lim_{w\to0} w\frac{(-1)^n\cos w}{(-1)^n\sin w} =\lim_{w\to0} w\frac{\cos w}{\sin w} =\lim_{w\to0}\frac{\cos w}{\sin w / w}=1,
pois \sin w\sim w quando w\to0. Confirma novamente que o resíduo é 1.

Passo 5

Resumo rápido e motivador: apesar de os sinais de \cos(n\pi) e \sin'(n\pi) dependerem de n, eles se cancelam na razão que define o resíduo, dando sempre 1. Isso significa que todos os polos simples de \operatorname{ctg} z em z=n\pi têm o mesmo resíduo, igual a 1.

Resposta

\operatorname{Res}(\operatorname{ctg} z,\,n\pi)=1

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