- Calcule
Passo 1
O enunciado pede o resíduo de
no ponto
, onde
é um inteiro. As informações relevantes que temos são:
-
. - Os polos de
ocorrem onde , isto é, em .
A tarefa é calcularpara inteiro .
Passo 2
Recordando uma ferramenta básica: se uma função
tem um polo simples em
e pode ser escrita como
com
e
analíticas em
,
e
com
, então o resíduo em
é
Explicação curta do porquê: perto de
tem-se
, logo
portanto o coeficiente de
(o resíduo) é
.
Essa é uma forma prática e elementar de obter o resíduo em um polo simples.
Essa é uma forma prática e elementar de obter o resíduo em um polo simples.
Passo 3
Aplicando essa regra à função
:
- Tome
e . - Em
temos
Logo, pelo resultado do passo anterior,
Passo 4
Para reforçar a intuição, faço também o cálculo direto pela definição do resíduo para polo simples:
Colocando
e usando as identidades trigonométricas,
Assim a expressão fica
pois
quando
. Confirma novamente que o resíduo é
.
Passo 5
Resumo rápido e motivador: apesar de os sinais de
e
dependerem de
, eles se cancelam na razão que define o resíduo, dando sempre
. Isso significa que todos os polos simples de
em
têm o mesmo resíduo, igual a
.