1. Calcule \operatorname{Res}(\pi \operatorname{ctg}(\pi z), n)

Passo 1

O enunciado pede o resíduo de \pi\operatorname{ctg}(\pi z) no ponto z=n. Informações dadas e claras:
  • A função é f(z)=\pi\operatorname{ctg}(\pi z).
  • O ponto onde queremos o resíduo é z=n. Aqui n é o inteiro em que a cotangente tem pólos (isto é, n\in\mathbb{Z}).
  • Pergunta: calcular \operatorname{Res}\bigl(\pi\operatorname{ctg}(\pi z),\,n\bigr).

Passo 2

Recordando o que é resíduo (a parte teórica necessária): se z_0 é um pólo simples de uma função g(z), o resíduo em z_0 pode ser calculado por
\operatorname{Res}(g,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)\,g(z).
Outra maneira equivalente é obter o coeficiente de (z-z_0)^{-1} na expansão de Laurent de g em torno de z_0. Vou usar a fórmula do limite porque é direta e fácil de aplicar aqui.

Passo 3

Mostrar que z=n é pólo simples de \operatorname{ctg}(\pi z) e obter a forma local: escrever a cotangente como razão de cosseno por seno,
\operatorname{ctg}(\pi z)=\frac{\cos(\pi z)}{\sin(\pi z)}.
Avaliar o comportamento de \sin(\pi z) e \cos(\pi z) perto de z=n. Usando expansão linear (derivada) em torno de z=n:
\sin(\pi z)=\sin\bigl(\pi n+\pi (z-n)\bigr)=\sin(\pi n)\cos(\pi (z-n))+\cos(\pi n)\sin(\pi (z-n)).
Como \sin(\pi n)=0 e \cos(\pi n)=(-1)^n, para z próximo de n temos, pela aproximação linear de \sin,
\sin(\pi z)\approx \cos(\pi n)\,\pi (z-n)=(-1)^n\pi (z-n).
\cos(\pi z) é aproximadamente \cos(\pi n)=(-1)^n quando z\to n. Portanto, ao dividir,
\operatorname{ctg}(\pi z)=\frac{\cos(\pi z)}{\sin(\pi z)} \approx \frac{(-1)^n}{(-1)^n\pi (z-n)}=\frac{1}{\pi (z-n)} \quad\text{quando }z\to n.
Isso mostra que \operatorname{ctg}(\pi z) tem pólo simples em z=n com comportamento principal 1/(\pi(z-n)).

Passo 4

Multiplicando por \pi, obtemos a forma local de f(z)=\pi\operatorname{ctg}(\pi z):
\pi\operatorname{ctg}(\pi z)\approx \frac{\pi}{\pi (z-n)}=\frac{1}{z-n}\quad\text{quando }z\to n,
ou seja, a parte principal da expansão de Laurent é exatamente (z-n)^{-1}. Usando a fórmula do resíduo para pólo simples,
\operatorname{Res}\bigl(\pi\operatorname{ctg}(\pi z),n\bigr)=\lim_{z\to n}(z-n)\,\pi\operatorname{ctg}(\pi z).
Fazendo a substituição t=\pi(z-n) (então t\to0 quando z\to n) dá
\operatorname{Res}=\lim_{t\to0}\frac{t}{\pi}\,\pi\operatorname{ctg}(t)=\lim_{t\to0} t\operatorname{ctg}(t).
Usando \operatorname{ctg}(t)=\dfrac{\cos t}{\sin t} e a conhecida limite \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1, tem-se
\lim_{t\to0} t\operatorname{ctg}(t)=\lim_{t\to0}\frac{t\cos t}{\sin t}=\frac{1\cdot 1}{1}=1.

Passo 5

Conclusão: o resíduo em z=n é 1. É uma conta rápida na prova: a singularidade é simples e o coeficiente do termo (z-n)^{-1} é 1.

Resposta

1

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