- Calcule
Passo 1
O enunciado pede o resíduo de
no ponto
. Informações dadas e claras:
- A função é
. - O ponto onde queremos o resíduo é
. Aqui é o inteiro em que a cotangente tem pólos (isto é, ). - Pergunta: calcular
.
Passo 2
Recordando o que é resíduo (a parte teórica necessária): se
é um pólo simples de uma função
, o resíduo em
pode ser calculado por
Outra maneira equivalente é obter o coeficiente de
na expansão de Laurent de
em torno de
. Vou usar a fórmula do limite porque é direta e fácil de aplicar aqui.
Passo 3
Mostrar que
é pólo simples de
e obter a forma local: escrever a cotangente como razão de cosseno por seno,
Avaliar o comportamento de
e
perto de
. Usando expansão linear (derivada) em torno de
:
Como
e
, para
próximo de
temos, pela aproximação linear de
,
Já
é aproximadamente
quando
. Portanto, ao dividir,
Isso mostra que
tem pólo simples em
com comportamento principal
.
Passo 4
Multiplicando por
, obtemos a forma local de
:
ou seja, a parte principal da expansão de Laurent é exatamente
. Usando a fórmula do resíduo para pólo simples,
Fazendo a substituição
(então
quando
) dá
Usando
e a conhecida limite
, tem-se
Passo 5
Conclusão: o resíduo em
é
. É uma conta rápida na prova: a singularidade é simples e o coeficiente do termo
é
.