Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede calcular quatro expressões trigonométricas inversas/compostas:
-
. -
. -
. -
.
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):
- Os argumentos são
, , e . - Usar as convenções usuais de valores principais (principal values) das funções inversas trigonométricas:
-
retorna um ângulo em . -
retorna um ângulo em . - Para
usar a convenção que dá um ângulo em com (ou seja, o mesmo intervalo principal da arccos, pois quando ).
-
- Para
vamos usar a relação pitagórica entre seno e cosseno: .
Passo 2
Calcular
.
Explicação/recordação:
(arcsen) é o ângulo
tal que
, com
no intervalo principal
. Então precisamos achar
com
Conhecimento de ângulos notáveis:
e
está no intervalo
. Logo o valor principal é
Passo 3
Calcular
.
Explicação/estratégia:
é o ângulo
tal que
e normalmente adotamos a relação
quando
. Assim buscamos
com
Conhecimento de ângulos notáveis:
. Além disso
(o intervalo principal da
), portanto
Passo 4
Calcular
.
Explicação:
é o ângulo
tal que
. Queremos
com
No intervalo
o cosseno vale
em
(ou seja,
). Logo
Passo 5
Calcular
.
Estratégia didática: seja
. Isso significa por definição que
e
. Queremos
. Usamos a identidade pitagórica:
Substituindo
obtemos
Então
Passo 6
Decidir o sinal de
.
Explicação: como
tem
e
, necessariamente
(primeiro quadrante), onde o seno é positivo. Portanto escolhemos o sinal positivo: