Calcule \operatorname{sen}^{-1}(\sqrt{3} / 2), \operatorname{sec} ^{-1}(2), \operatorname{arccos} (-1 / 2), \operatorname{sen}\left(\cos ^{-1}(4 / 5)\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular quatro expressões trigonométricas inversas/compostas:
  • \operatorname{sen}^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
  • \operatorname{sec}^{-1}(2).
  • \operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{1}{2}\right).
  • \operatorname{sen}\!\big(\cos^{-1}\!\left(\dfrac{4}{5}\right)\big).
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):
  • Os argumentos são \dfrac{\sqrt{3}}{2}, 2, -\dfrac{1}{2} e \dfrac{4}{5}.
  • Usar as convenções usuais de valores principais (principal values) das funções inversas trigonométricas:
    • \operatorname{sen}^{-1}(x) retorna um ângulo em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
    • \operatorname{arccos}(x) retorna um ângulo em [0,\pi].
    • Para \operatorname{sec}^{-1}(x) usar a convenção que dá um ângulo em [0,\pi] com \theta\neq\tfrac{\pi}{2} (ou seja, o mesmo intervalo principal da arccos, pois \operatorname{sec}^{-1}(y)=\operatorname{arccos}(1/y) quando |y|\ge1).
  • Para \operatorname{sen}(\cos^{-1}(a)) vamos usar a relação pitagórica entre seno e cosseno: \operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1.

Passo 2

Calcular \operatorname{sen}^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Explicação/recordação: \operatorname{sen}^{-1}(x) (arcsen) é o ângulo \theta tal que \operatorname{sen}\theta=x, com \theta no intervalo principal [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. Então precisamos achar \theta com
\operatorname{sen}\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Conhecimento de ângulos notáveis: \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \dfrac{\pi}{3} está no intervalo [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. Logo o valor principal é
\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 3

Calcular \operatorname{sec}^{-1}(2).
Explicação/estratégia: \operatorname{sec}^{-1}(y) é o ângulo \theta tal que \operatorname{sec}\theta=y e normalmente adotamos a relação \operatorname{sec}^{-1}(y)=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{y}\right) quando |y|\ge1. Assim buscamos \theta com
\operatorname{sec}\theta=2 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos\theta=\dfrac{1}{2}.
Conhecimento de ângulos notáveis: \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}. Além disso \dfrac{\pi}{3}\in[0,\pi] (o intervalo principal da \operatorname{arccos}), portanto
\operatorname{sec}^{-1}(2)=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 4

Calcular \operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{1}{2}\right).
Explicação: \operatorname{arccos}(x) é o ângulo \theta\in[0,\pi] tal que \cos\theta=x. Queremos \theta com
\cos\theta=-\dfrac{1}{2}.
No intervalo [0,\pi] o cosseno vale -\dfrac{1}{2} em \theta=\dfrac{2\pi}{3} (ou seja, 120^\circ). Logo
\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\pi}{3}.

Passo 5

Calcular \operatorname{sen}\!\big(\cos^{-1}\!\left(\dfrac{4}{5}\right)\big).
Estratégia didática: seja \theta=\cos^{-1}\!\left(\dfrac{4}{5}\right). Isso significa por definição que \cos\theta=\dfrac{4}{5} e \theta\in[0,\pi]. Queremos \operatorname{sen}\theta. Usamos a identidade pitagórica:
\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1.
Substituindo \cos\theta=\dfrac{4}{5} obtemos
\operatorname{sen}^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}.
Então
\operatorname{sen}\theta=\pm\dfrac{3}{5}.

Passo 6

Decidir o sinal de \operatorname{sen}\theta.
Explicação: como \theta=\cos^{-1}\!\left(\dfrac{4}{5}\right) tem \theta\in[0,\pi] e \cos\theta=\dfrac{4}{5}>0, necessariamente \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (primeiro quadrante), onde o seno é positivo. Portanto escolhemos o sinal positivo:
\operatorname{sen}\theta=\dfrac{3}{5}.

Resposta

\operatorname{sen}^{-1}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}
\operatorname{sec}^{-1}(2)=\dfrac{\pi}{3}
\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2\pi}{3}
\operatorname{sen}\!\big(\cos^{-1}\!\left(\dfrac{4}{5}\right)\big)=\dfrac{3}{5}

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