Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.
\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{9-x^{2}-y^{2}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}^{9-x^{2}-y^{2}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dz \, dx \, dy.
Informações fornecidas e o que precisamos obter:
  • A integranda é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • As variáveis têm os limites (da ordem escrita): para z de 0 até 9-x^{2}-y^{2}; para x de 0 até \sqrt{9-x^{2}} (observe que esse limite envolve x); para y de -3 até 3. (Interpretando a escrita usual, a região no plano xy é o semicírculo de raio 3 com y\ge 0.)
  • A instrução é transformar para coordenadas cilíndricas e calcular a integral.

Passo 2

Lição rápida sobre coordenadas cilíndricas (útil para a prova):
  • As coordenadas cilíndricas relacionam (x,y,z) a (r,\theta,z) por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo polar.
  • O elemento de volume (Jacobiano) vale
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
  • A expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira simplesmente r em coordenadas cilíndricas, porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (considerando r\ge0).

Passo 3

Determinação dos limites em cilíndricas:
  • A condição x^{2}+y^{2}\le 9 corresponde a 0\le r\le 3.
  • A condição y\ge 0 corresponde a 0\le \theta\le \pi (meio plano superior).
  • A altura em z é dada por 0\le z\le 9 - x^{2}-y^{2}. Em cilíndricas isso é 0\le z\le 9 - r^{2}.
    Logo o conjunto de integração em cilíndricas é
0\le \theta\le \pi,\qquad 0\le r\le 3,\qquad 0\le z\le 9-r^{2}.

Passo 4

Escrever a integral em cilíndricas substituindo integranda e Jacobiano:
  • A integranda \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r.
  • O elemento de volume dV é r\,dz\,dr\,d\theta.
    Portanto o integrando total é r\cdot r = r^{2} e a integral passa a ser
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}\int_{0}^{9-r^{2}} r^{2}\, dz\, dr\, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo começando por z:
  • Integrando em z:
\int_{0}^{9-r^{2}} r^{2}\, dz = r^{2}\bigl(9-r^{2}\bigr).
  • Agora a integral reduz-se a
\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3} r^{2}\bigl(9-r^{2}\bigr)\, dr\, d\theta = \int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{3} \bigl(9r^{2}-r^{4}\bigr)\, dr\right) d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em r com detalhamento:
  • Calcule separadamente as primitivas:
\int 9r^{2}\,dr = 9\cdot\frac{r^{3}}{3}=3r^{3},\qquad \int r^{4}\,dr=\frac{r^{5}}{5}.
  • Avaliando de 0 a 3:
\int_{0}^{3}\bigl(9r^{2}-r^{4}\bigr)\,dr = \left[3r^{3}-\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{3} = 3\cdot 27 - \frac{243}{5} =81 - \frac{243}{5}.
  • Reduzindo a fração:
81-\frac{243}{5}=\frac{405}{5}-\frac{243}{5}=\frac{162}{5}.

Passo 7

Calcular a integral em \theta e obter o resultado final:
  • A integral em \theta é simplesmente multiplicar por \int_{0}^{\pi} d\theta=\pi. Então o valor total é
\pi\cdot\frac{162}{5}=\frac{162\pi}{5}.

Resposta

\dfrac{162\pi}{5}

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