Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações fornecidas e o que precisamos obter:
- A integranda é
. - As variáveis têm os limites (da ordem escrita): para
de até ; para de até (observe que esse limite envolve ); para de até . (Interpretando a escrita usual, a região no plano é o semicírculo de raio com .) - A instrução é transformar para coordenadas cilíndricas e calcular a integral.
Passo 2
Lição rápida sobre coordenadas cilíndricas (útil para a prova):
- As coordenadas cilíndricas relacionam
a por
onde
é a distância ao eixo
e
é o ângulo polar.
- O elemento de volume (Jacobiano) vale
- A expressão
vira simplesmente em coordenadas cilíndricas, porque (considerando ).
Passo 3
Determinação dos limites em cilíndricas:
- A condição
corresponde a . - A condição
corresponde a (meio plano superior). - A altura em
é dada por . Em cilíndricas isso é .
Logo o conjunto de integração em cilíndricas é
Passo 4
Escrever a integral em cilíndricas substituindo integranda e Jacobiano:
- A integranda
vira . - O elemento de volume
é .
Portanto o integrando total ée a integral passa a ser
Passo 5
Calcular a integral passo a passo começando por
:
- Integrando em
:
- Agora a integral reduz-se a
Passo 6
Calcular a integral em
com detalhamento:
- Calcule separadamente as primitivas:
- Avaliando de
a :
- Reduzindo a fração:
Passo 7
Calcular a integral em
e obter o resultado final:
- A integral em
é simplesmente multiplicar por . Então o valor total é