Encontre o domínio e imagem da função g(t)=3 \sin \left(e^{-t}\right).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função g: encontrar o domínio e encontrar a imagem. A função dada é
g(t)=3\sin\!\bigl(e^{-t}\bigr).
Informações relevantes que o enunciado dá (explícitas na expressão):
  • Há uma exponencial e^{-t} dentro do argumento do seno.
  • Há uma função seno \sin(\cdot).
  • Há um fator multiplicativo 3 na frente de \sin.
    As perguntas que vamos responder:
  • Qual é o conjunto de todos os t para os quais g(t) está bem definida (domínio)?
  • Quais são todos os valores possíveis que g(t) pode assumir (imagem)?

Passo 2

Definições rápidas (úteis para a prova):
  • O domínio de uma função é o conjunto de valores de entrada (aqui valores de t) que tornam a expressão bem definida.
  • A imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto de valores de saída que a função realmente assume quando varre todo o domínio.
    Vou usar essas definições passo a passo.

Passo 3

Determinar o domínio: examinar as partes da expressão.
  • A função exponencial e^{-t} está definida para todo t\in\mathbb{R}. Não há divisão por zero, raízes pares de números negativos nem logaritmos problemáticos aqui.
  • A função seno \sin(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
    Portanto a composição \sin\!\bigl(e^{-t}\bigr) está definida para todo t\in\mathbb{R}. Multiplicar por 3 não cria problemas.
    Conclusão: o domínio é todo o conjunto dos reais. Em notação:
\text{Dom}(g)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.

Passo 4

Encontrar a imagem: primeiro analisar a imagem de e^{-t}.
  • A função h(t)=e^{-t} é contínua e estritamente positiva para todo t.
  • Quando t\to+\infty tem-se e^{-t}\to 0.
  • Quando t\to-\infty tem-se e^{-t}\to+\infty.
    Pelo teorema do valor intermediário (continuidade) ou pela monotonicidade, a imagem de e^{-t} é o intervalo aberto (0,\infty). Em símbolos:
e^{-t}\in(0,\infty)\quad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Agora analisar \sin(x) quando x varia sobre (0,\infty).
  • Sabemos que \sin(x) tem imagem [-1,1] quando x percorre todos os reais.
  • Precisamos garantir que, mesmo restringindo x a (0,\infty), ainda se atingem todos os valores de [-1,1].
    Argumento construtivo:
    • Para qualquer y\in[-1,1] existe x_0\in[0,2\pi) tal que \sin(x_0)=y (pois \sin atinge todos esses valores no intervalo [0,2\pi)).
    • Se x_0>0 então x_0\in(0,\infty) e pronto.
    • Se x_0=0 (caso y=0), então \sin(2\pi)=0 e 2\pi\in(0,\infty).
    • Além disso, pela periodicidade, x_0+2\pi k\in(0,\infty) para algum inteiro k\ge 0, então sempre existe um argumento positivo que produz y.
      Portanto, quando x varre (0,\infty), \sin(x) também assume todos os valores de [-1,1]. Logo
\sin\!\bigl(e^{-t}\bigr)\in[-1,1].

Passo 6

Escalar pelo fator 3:
  • Multiplicar os valores de \sin\!\bigl(e^{-t}\bigr) por 3 expande o intervalo por esse fator.
  • Assim, a imagem de g é o intervalo
3\cdot[-1,1]=[-3,3].
Verificação de pontos extremos (para ficar tranquilo na prova):
  • Para g(t)=3 precisamos \sin(e^{-t})=1. Isso ocorre se e^{-t}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k para algum inteiro k. Como \dfrac{\pi}{2}+2\pi k>0 para k\ge 0, podemos tomar por exemplo t=-\ln\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) e obter g(t)=3.
  • Para g(t)=-3 análogo: tomar e^{-t}=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k e por exemplo t=-\ln\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) g(t)=-3.
    Portanto os extremos -3 e 3 são realmente atingidos.

Resposta

\text{Dom}(g)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}
\text{Im}(g)=[-3,3]

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