Encontre o domínio e imagem da função
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
: encontrar o domínio e encontrar a imagem. A função dada é
Informações relevantes que o enunciado dá (explícitas na expressão):
- Há uma exponencial
dentro do argumento do seno. - Há uma função seno
. - Há um fator multiplicativo
na frente de .
As perguntas que vamos responder: - Qual é o conjunto de todos os
para os quais está bem definida (domínio)? - Quais são todos os valores possíveis que
pode assumir (imagem)?
Passo 2
Definições rápidas (úteis para a prova):
- O domínio de uma função é o conjunto de valores de entrada (aqui valores de
) que tornam a expressão bem definida. - A imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto de valores de saída que a função realmente assume quando varre todo o domínio.
Vou usar essas definições passo a passo.
Passo 3
Determinar o domínio: examinar as partes da expressão.
- A função exponencial
está definida para todo . Não há divisão por zero, raízes pares de números negativos nem logaritmos problemáticos aqui. - A função seno
está definida para todo .
Portanto a composiçãoestá definida para todo . Multiplicar por não cria problemas.
Conclusão: o domínio é todo o conjunto dos reais. Em notação:
Passo 4
Encontrar a imagem: primeiro analisar a imagem de
.
- A função
é contínua e estritamente positiva para todo . - Quando
tem-se . - Quando
tem-se .
Pelo teorema do valor intermediário (continuidade) ou pela monotonicidade, a imagem deé o intervalo aberto . Em símbolos:
Passo 5
Agora analisar
quando
varia sobre
.
- Sabemos que
tem imagem quando percorre todos os reais. - Precisamos garantir que, mesmo restringindo
a , ainda se atingem todos os valores de .
Argumento construtivo:- Para qualquer
existe tal que (pois atinge todos esses valores no intervalo ). - Se
então e pronto. - Se
(caso ), então e . - Além disso, pela periodicidade,
para algum inteiro , então sempre existe um argumento positivo que produz .
Portanto, quandovarre , também assume todos os valores de . Logo
- Para qualquer
Passo 6
Escalar pelo fator
:
- Multiplicar os valores de
por expande o intervalo por esse fator. - Assim, a imagem de
é o intervalo
Verificação de pontos extremos (para ficar tranquilo na prova):
- Para
precisamos . Isso ocorre se para algum inteiro . Como para , podemos tomar por exemplo e obter . - Para
análogo: tomar e por exemplo dá .
Portanto os extremose são realmente atingidos.