Calcule para um óxido hipotético do tipo AX, que possui número de coordenação 6 tanto para os cátions como para os ânions, os seguintes itens:
a) parâmetro de rede em (nm) e (cm)
b) fator de empacotamento iônico FEI em (%)
c) densidade volumétrica em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}
d) densidade iônica linear para direção [220] em (íons/nm)
e) densidade iônica planar para o plano (220) em (íons/ \mathrm{nm}^{2} )
Dados:
Raio do cátion é 0,102 nm
Raio do ânion é 0,181 \mathrm{nm}
\mathrm{A}_{\text {cátion }}=22,99á uma
\mathrm{A}_{\text {ânion }}=35,45 \mathrm{uma}â
\mathrm{N}_{\mathrm{A}}=6,02 \times 10^{23} \mathrm{~g} / \mathrm{mol}

Passo 1

O enunciado pede que, para um óxido hipotético do tipo AX com coordenação 6:
a) calcule o parâmetro de rede nas unidades solicitadas;
b) calcule o fator de empacotamento iônico (FEI) em %;
c) calcule a densidade em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3};
d) calcule a densidade iônica linear para a direção [220] em (íons/nm);
e) calcule a densidade iônica planar para o plano (220) em (íons/ \mathrm{nm}^{2}).
As informações dadas (peguei estes valores do enunciado):
  • raio do cátion: \,R_{\mathrm{cat}}=0,102\\ \mathrm{nm}.
  • raio do ânion: \,R_{\mathrm{ân}}=0,181\\ \mathrm{nm}â.
  • massa atômica do cátion: \,A_{\mathrm{cat}}=22,99\\ \mathrm{uma}.
  • massa atômica do ânion: \,A_{\mathrm{ân}}=35,45\\ \mathrm{uma}â.
  • constante de Avogadro: \,N_{\mathrm{A}}=6,02\times10^{23}\\ \mathrm{mol}^{-1}.
Observação (apenas listagem): o enunciado diz coordenação 6 para ambos os íons e proporção 1:1 (AX). A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Identificar a estrutura cristalina e a relação geométrica relevante (por que isso importa).
  • Coordenação 6 para ambos íons em um composto AX com este empacotamento corresponde ao tipo de estrutura “rock-salt” (como NaCl). Nesta estrutura a célula convencional é cúbica e contém Z=4 fórmulas unitárias AX (ou seja, 4 cátions + 4 ânions por célula).
  • Em rock-salt os íons vizinhos (catíon-ânion) estão localizados ao longo da aresta do cubo de forma que a menor distância catião–ânion é a/2, onde a é o parâmetro da célula cúbica. Assim vale a relação geométrica entre a e os raios iônicos:
\frac{a}{2}=R_{\mathrm{cat}}+R_{\mathrm{ân}}.â
Esta fórmula é fundamental para a parte (a): ela vem do fato de que um cátion e um ânion adjacentes estão separados por metade da aresta do cubo na estrutura NaCl.

Passo 3

Calcular o parâmetro de rede a (parte a). Aplicando a relação do passo anterior:
a=2\left(R_{\mathrm{cat}}+R_{\mathrm{ân}}\right).â
Substituindo os raios (peguei os valores do enunciado):
a=2\bigl(0,102+0,181\bigr)\\ \mathrm{nm}=2\cdot0,283\\ \mathrm{nm}=0,566\\ \mathrm{nm}.
Converter para centímetros (usar 1\\ \mathrm{nm}=10^{-7}\\ \mathrm{cm}):
a=0,566\\ \mathrm{nm}=0,566\times10^{-7}\\ \mathrm{cm}=5,66\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
(Deu isso porque multipliquei por 10^{-7}.)

Passo 4

Calcular o fator de empacotamento iônico FEI (parte b). Explicação e fórmula:
  • O FEI é a fração do volume da célula unitária ocupada pelas esferas dos íons. Em fórmula:
\mathrm{FEI}=\frac{\text{volume total das esferas no interior da célula}}{V_{\text{célula}}}\times100\%.éé
  • Volume de uma esfera de raio R é \dfrac{4}{3}\pi R^{3}.
  • Na estrutura rock-salt há Z=4 fórmulas AX por célula, ou seja 4 cátions e 4 ânions por célula. Então o volume total das esferas na célula é
V_{\text{íons}}=4\cdot\frac{4}{3}\pi\bigl(R_{\mathrm{cat}}^{3}+R_{\mathrm{ân}}^{3}\bigr).íâ
  • Volume da célula cúbica é V_{\text{célula}}=a^{3}é.
Agora os cálculos (tudo em \mathrm{nm}^{3} para consistência com a em nm):
Calcular os cubos dos raios (usei os valores do enunciado):
R_{\mathrm{cat}}^{3}=(0,102)^{3}=0,001061\\ \mathrm{nm}^{3},
R_{\mathrm{ân}}^{3}=(0,181)^{3}=0,005927\\ \mathrm{nm}^{3}.â
Somando:
R_{\mathrm{cat}}^{3}+R_{\mathrm{ân}}^{3}=0,006988\\ \mathrm{nm}^{3}.â
Volume total das esferas na célula:
V_{\text{íons}}=4\cdot\frac{4}{3}\pi\cdot0,006988 \approx 4\cdot4,18879\cdot0,006988 \approx 0,1171\\ \mathrm{nm}^{3}.í
Volume da célula:
V_{\text{célula}}=a^{3}=(0,566)^{3}\\ \mathrm{nm}^{3}\approx0,18132\\ \mathrm{nm}^{3}.é
Portanto
\mathrm{FEI}=\frac{0,1171}{0,18132}\times100\%\approx64,6\%.
Interpretação curta: cerca de 64{,}6\% do volume da célula é ocupado pelos íons modelados como esferas.

Passo 5

Calcular a densidade macroscópica \rho (parte c). Método e fórmulas:
  • Massa por célula m_{\text{célula}} = Z\cdot M_{\text{fórmula}}/N_{\mathrm{A}}éó, onde M_{\text{fórmula}}ó é a massa molar da fórmula AX em \mathrm{g/mol} (soma das massas atômicas) e Z=4.
  • Densidade \rho = m_{\text{célula}}/V_{\text{célula}}éé. Aqui V_{\text{célula}}é em \mathrm{cm}^{3} (converter a para cm).
Calcule M_{\text{fórmula}}ó (usei os valores do enunciado):
M_{\text{fórmula}}=A_{\mathrm{cat}}+A_{\mathrm{ân}}=22,99+35,45=58,44\\ \mathrm{g/mol}.óâ
Massa da célula:
m_{\text{célula}}=\frac{4\cdot58,44}{6,02\times10^{23}}\\ \mathrm{g}=\frac{233,76}{6,02\times10^{23}}\\ \mathrm{g}\approx3,882\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.é
Volume da célula em \mathrm{cm}^{3}: usamos 1\\ \mathrm{nm}^{3}=10^{-21}\\ \mathrm{cm}^{3}. Como a^{3}=0,18132\\ \mathrm{nm}^{3},
V_{\text{célula}}=0,18132\times10^{-21}\\ \mathrm{cm}^{3}=1,8132\times10^{-22}\\ \mathrm{cm}^{3}.é
Finalmente, a densidade:
\rho=\frac{3,882\times10^{-22}}{1,8132\times10^{-22}}\\ \mathrm{g/cm^{3}}\approx2,14\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 6

Calcular a densidade iônica linear para a direção [220] (parte d). Conceito e método:
  • A densidade linear (número de íons por unidade de comprimento ao longo de uma direção cristalográfica) é dada por:
\text{LD}=\frac{\text{número de íons centrados na linha}}{\text{comprimento de repetição dessa linha}}.úíçã
  • A direção [220] é colinear com [110] (pois [220]=2[110]), então a geometria é equivalente à direção [110].
  • Escolhendo a linha que passa pelo átomo na origem (0,0,0) (um cátion), verifica-se que os centros dos cátions aparecem ao longo dessa linha com espaçamento igual a
\Delta = \frac{a}{\sqrt{2}}.
(Explicação rápida: a distância entre (0,0,0) e (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0) é a/\sqrt{2}, e ambos são cátions em rock-salt; nenhuma ânion tem centro exatamente nessa linha específica.)
  • Assim, o número de íons por unidade de comprimento para essa linha é
\text{LD}=\frac{1}{\Delta}=\frac{1}{a/\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{a}.
Agora o valor numérico (usar a em nm):
\text{LD}=\frac{\sqrt{2}}{0,566\\ \mathrm{nm}}\approx\frac{1,41421}{0,566}\\ \mathrm{íons/nm}\approx2,50\\ \text{íons/nm}.íí
Observação: aqui contei os íons cujos centros ficam exatamente sobre a linha escolhida (neste caso são cátions). Linhas paralelas podem conter outros tipos de centros; a densidade linear é sempre relativa a uma linha específica.

Passo 7

Calcular a densidade iônica planar para o plano (220) (parte e). Conceito e método:
  • O plano (220) tem a mesma orientação que (110) (índices proporcionais), então podemos trabalhar com o plano (110).
  • Para encontrar a densidade planar contamos quantos íons têm seus centros exatamente no plano e dividimos pela área do elemento repetitivo do plano.
  • Pode-se escolher o plano de equação x+y=\tfrac{1}{2} (em coordenadas fracionárias da célula), esse plano contém quatro íons por célula: dois cátions e dois ânions (lista abaixo). Assim há 4 íons por repetição de área do plano dentro da célula.
  • O elemento de área primitivo no plano pode ser tomado como o paralelogramo gerado por \mathbf{v}_1=a(1,-1,0) e \mathbf{v}_2=a(0,0,1). A área desse paralelogramo é
A_{\text{prim}}=|\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2|=a^{2}\sqrt{2}.
  • Portanto a densidade planar é
\text{PD}=\frac{4}{a^{2}\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{a^{2}}\quad\text{(íons por unidade de área)}.íá
Cálculo numérico usando a=0,566\\ \mathrm{nm}:
a^{2}=(0,566)^{2}=0,32036\\ \mathrm{nm}^{2},
\text{PD}=\frac{2\sqrt{2}}{0,32036}\approx\frac{2{,}8284}{0,32036}\\ \mathrm{íons/nm^{2}}\approx8,83\\ \text{íons/nm}^{2}.íí

Passo 8

Resumo rápido dos cálculos (valores intermediários usados):
  • Usei a relação a=2(R_{\mathrm{cat}}+R_{\mathrm{ân}})â (rock-salt).
  • Usei Z=4 fórmulas por célula.
  • Volume de esfera \dfrac{4}{3}\pi R^{3}.
  • Massa por célula =Z\cdot M_{\text{fórmula}}/N_{\mathrm{A}}ó.
  • Conversões: 1\\ \mathrm{nm}=10^{-7}\\ \mathrm{cm}, 1\\ \mathrm{nm}^{3}=10^{-21}\\ \mathrm{cm}^{3}.

Resposta

a) a=0,566\\ \mathrm{nm}=5,66\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}
b) \mathrm{FEI}\approx64,6\\ \%
c) \rho\approx2,14\\ \mathrm{g/cm^{3}}
d) \text{densidade linear}_{[220]}\approx2,50\\ \text{íons/nm}í
e) \text{densidade planar}_{(220)}\approx8,83\\ \text{íons/nm}^{2}í

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