Calcule para um óxido hipotético do tipo AX, que possui número de coordenação 6 tanto para os cátions como para os ânions, os seguintes itens:
a) parâmetro de rede em (nm) e (cm)
b) fator de empacotamento iônico FEI em (%)
c) densidade volumétrica em
d) densidade iônica linear para direção [220] em (íons/nm)
e) densidade iônica planar para o plano (220) em (íons/
)
Dados:
Raio do cátion é 0,102 nm
Raio do ânion é 0,181
uma
a) parâmetro de rede em (nm) e (cm)
b) fator de empacotamento iônico FEI em (%)
c) densidade volumétrica em
d) densidade iônica linear para direção [220] em (íons/nm)
e) densidade iônica planar para o plano (220) em (íons/
Raio do cátion é 0,102 nm
Raio do ânion é 0,181
Passo 1
O enunciado pede que, para um óxido hipotético do tipo AX com coordenação 6:
a) calcule o parâmetro de rede nas unidades solicitadas;
b) calcule o fator de empacotamento iônico (FEI) em %;
c) calcule a densidade em ;
d) calcule a densidade iônica linear para a direção em (íons/nm);
e) calcule a densidade iônica planar para o plano em (íons/
).
a) calcule o parâmetro de rede nas unidades solicitadas;
b) calcule o fator de empacotamento iônico (FEI) em %;
c) calcule a densidade em
d) calcule a densidade iônica linear para a direção
e) calcule a densidade iônica planar para o plano
As informações dadas (peguei estes valores do enunciado):
- raio do cátion:
. - raio do ânion:
. - massa atômica do cátion:
. - massa atômica do ânion:
. - constante de Avogadro:
.
Observação (apenas listagem): o enunciado diz coordenação 6 para ambos os íons e proporção 1:1 (AX). A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Identificar a estrutura cristalina e a relação geométrica relevante (por que isso importa).
- Coordenação 6 para ambos íons em um composto AX com este empacotamento corresponde ao tipo de estrutura “rock-salt” (como NaCl). Nesta estrutura a célula convencional é cúbica e contém
fórmulas unitárias AX (ou seja, 4 cátions + 4 ânions por célula). - Em rock-salt os íons vizinhos (catíon-ânion) estão localizados ao longo da aresta do cubo de forma que a menor distância catião–ânion é
, onde é o parâmetro da célula cúbica. Assim vale a relação geométrica entre e os raios iônicos:
Esta fórmula é fundamental para a parte (a): ela vem do fato de que um cátion e um ânion adjacentes estão separados por metade da aresta do cubo na estrutura NaCl.
Passo 3
Calcular o parâmetro de rede
(parte a). Aplicando a relação do passo anterior:
Substituindo os raios (peguei os valores do enunciado):
Converter para centímetros (usar
):
(Deu isso porque multipliquei por
.)
Passo 4
Calcular o fator de empacotamento iônico FEI (parte b). Explicação e fórmula:
- O FEI é a fração do volume da célula unitária ocupada pelas esferas dos íons. Em fórmula:
- Volume de uma esfera de raio
é . - Na estrutura rock-salt há
fórmulas AX por célula, ou seja cátions e ânions por célula. Então o volume total das esferas na célula é
- Volume da célula cúbica é
.
Agora os cálculos (tudo em
para consistência com
em nm):
Calcular os cubos dos raios (usei os valores do enunciado):
Somando:
Volume total das esferas na célula:
Volume da célula:
Portanto
Interpretação curta: cerca de
do volume da célula é ocupado pelos íons modelados como esferas.
Passo 5
Calcular a densidade macroscópica
(parte c). Método e fórmulas:
- Massa por célula
, onde é a massa molar da fórmula AX em (soma das massas atômicas) e . - Densidade
. Aqui em (converter para cm).
Calcule
(usei os valores do enunciado):
Massa da célula:
Volume da célula em
: usamos
. Como
,
Finalmente, a densidade:
Passo 6
Calcular a densidade iônica linear para a direção
(parte d). Conceito e método:
- A densidade linear (número de íons por unidade de comprimento ao longo de uma direção cristalográfica) é dada por:
- A direção
é colinear com (pois ), então a geometria é equivalente à direção . - Escolhendo a linha que passa pelo átomo na origem
(um cátion), verifica-se que os centros dos cátions aparecem ao longo dessa linha com espaçamento igual a
(Explicação rápida: a distância entre
e
é
, e ambos são cátions em rock-salt; nenhuma ânion tem centro exatamente nessa linha específica.)
- Assim, o número de íons por unidade de comprimento para essa linha é
Agora o valor numérico (usar
em nm):
Observação: aqui contei os íons cujos centros ficam exatamente sobre a linha escolhida (neste caso são cátions). Linhas paralelas podem conter outros tipos de centros; a densidade linear é sempre relativa a uma linha específica.
Passo 7
Calcular a densidade iônica planar para o plano
(parte e). Conceito e método:
- O plano
tem a mesma orientação que (índices proporcionais), então podemos trabalhar com o plano . - Para encontrar a densidade planar contamos quantos íons têm seus centros exatamente no plano e dividimos pela área do elemento repetitivo do plano.
- Pode-se escolher o plano de equação
(em coordenadas fracionárias da célula), esse plano contém quatro íons por célula: dois cátions e dois ânions (lista abaixo). Assim há 4 íons por repetição de área do plano dentro da célula. - O elemento de área primitivo no plano pode ser tomado como o paralelogramo gerado por
e . A área desse paralelogramo é
- Portanto a densidade planar é
Cálculo numérico usando
:
Passo 8
Resumo rápido dos cálculos (valores intermediários usados):
- Usei a relação
(rock-salt). - Usei
fórmulas por célula. - Volume de esfera
. - Massa por célula
. - Conversões:
, .
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)