Considere a estrutura do
. Sabendo que esta é uma cerâmica do tipo
, em que
, determine:
a) o parâmetro de rede em nm .
b) o fator de empacotamento.
c) a densidade volumétrica.
d) a DIL para a direção [111]
e) a DIP para o plano (111)
Dados:
átomos
a) o parâmetro de rede em nm .
b) o fator de empacotamento.
c) a densidade volumétrica.
d) a DIL para a direção [111]
e) a DIP para o plano (111)
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
O enunciado pede:
- (a) o parâmetro de rede em nm;
- (b) o fator de empacotamento (fração do volume do cela unitária ocupada por esferas iônicas);
- (c) a densidade volumétrica (em g·cm^{-3});
- (d) a DIL para a direção
; - (e) a DIP para o plano
.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Raios iônicos:
- Massas atômicas:
- Constante de Avogadro:
Observação importante sobre a estrutura:
-
é um perovskita do tipo (ou seja, com ). Nas perovskitas cúbicas ideais: o íon fica no centro do cubo e os oxigênios nas faces, de modo que a distância é (onde é o parâmetro da cela). Também vale a relação geométrica para , mas pode não coincidir exata se a estrutura estiver distorcida.
Passo 2
Escolha do método para calcular o parâmetro de rede
e verificação pelo fator de tolerância.
Explicação do raciocínio (didática): em perovskita cúbica ideal existem duas relações geométricas úteis:
Se a estrutura fosse perfeitamente cúbica ambas dariam o mesmo
; se derem valores diferentes, a estrutura é provavelmente distorcida. Para decidir qual usar: como a rede de perovskita é construída a partir de octaedros
que compartilham vértices, a relação mais direta e usual para estimar
é usar a condição
. Antes de fixar essa escolha é útil calcular o fator de tolerância de Goldschmidt
Valores típicos:
indica perovskita possivelmente distorcida; se
bem diferente, a forma cúbica ideal não se mantém.
Calcular
com os dados (todos em nm):
Interpretação:
está dentro da faixa de perovskita mas indica certa distorção (não perfeitamente ideal). Mesmo assim, para obter o parâmetro de rede a estimativa usual é usar a relação
porque os octaedros
definem diretamente a distância de aresta do cubo.
Portanto adotarei
Passo 3
Cálculo do parâmetro de rede
.
Aplicando a fórmula escolhida:
Comentário menor: se fosse usada a relação a partir de
, obter-se-ia
, diferente de
— isso só confirma distorção; escolhemos a relação B–O porque é a mais direta para perovskitas.
Passo 4
Cálculo do fator de empacotamento (packing factor).
Primeiro, contar quantos íons de cada tipo existem na cela unitária do perovskita
:
- íons
(Sr) em cantos: átomo por cela; - íon
(Zr) no corpo: átomo por cela; - íons
nas faces: átomos por cela.
Logo a cela contém.
Volume total ocupado por esferas iônicas (assumindo esferas rígidas e usando os raios iônicos fornecidos):
Calcular os cubos:
Somando:
Portanto
Volume da cela unitária:
Fator de empacotamento:
Interpretação: cerca de
do volume da cela está ocupado pelas esferas iônicas segundo este modelo rígido.
Passo 5
Cálculo da densidade volumétrica.
Massa por cela unitária (em gramas):
Somando massas molares:
Logo
Volume da cela em cm^{3} (conversão:
):
Densidade:
Comentário: valor coerente com cerâmicas à base de zircônio/estrôncio (ordem de grandeza
).
Passo 6
Cálculo da DIL para a direção
.
Explicação e fórmula (didática): a DIL (distância entre nós da rede ao longo de uma direção cristalográfica) pode ser obtida encontrando o menor vetor-lattice não-nulo na direção
. Para a direção
o vector-lattice mais curto entre nós da rede é o que vai de
a
em coordenadas da cela: seu comprimento é
Como o gcd de
é
, não há redução adicional.
Calcular numericamente:
Passo 7
Cálculo da DIP para o plano
.
Explicação e fórmula (didática): a DIP (distância interplanar) para planos
em uma rede cúbica é dada por
Aplicando para
:
Calcular numericamente:
Passo 8
Resumo rápido dos valores calculados (preparando a resposta final).
Valores obtidos (arredondados com 3 algarismos significativos quando apropriado):
-
. - Fator de empacotamento
. - Densidade
. -
. -
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)