Considere a estrutura do \mathrm{SrZrO}_{3}. Sabendo que esta é uma cerâmica do tipo \mathrm{A}_{\mathrm{m}} \mathrm{B}_{\mathrm{n}} \mathrm{X}_{\mathrm{p}}\, em que \mathrm{m}=\mathrm{n}, determine:
a) o parâmetro de rede em nm .
b) o fator de empacotamento.
c) a densidade volumétrica.
d) a DIL para a direção [111]
e) a DIP para o plano (111)
Dados:
\mathrm{Ro}^{-}=0,140 \mathrm{~nm}
\mathrm{Rsr}^{+}=0,112 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}^{+}{ }_{\mathrm{Zr}}=0,072 \mathrm{~nm}
\mathrm{Ao}=16 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
\mathrm{A}_{\mathrm{sr}}=87,62 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
\mathrm{Azr}_{\mathrm{zr}}=91,22 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}
\mathrm{N}_{\mathrm{A}}=6,023 \times 10^{23} átomos / \mathrm{mol}

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
O enunciado pede:
  • (a) o parâmetro de rede em nm;
  • (b) o fator de empacotamento (fração do volume do cela unitária ocupada por esferas iônicas);
  • (c) a densidade volumétrica (em g·cm^{-3});
  • (d) a DIL para a direção [111];
  • (e) a DIP para o plano (111).
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Raios iônicos: \;R_{\mathrm{O}^{2-}}=0,140\\ \text{nm},\;R_{\mathrm{Sr}^{2+}}=0,112\\ \text{nm},\;R_{\mathrm{Zr}^{4+}}=0,072\\ \text{nm}.
  • Massas atômicas: \;A_{\mathrm{O}}=16\\ \text{g·mol}^{-1},\;A_{\mathrm{Sr}}=87{,}62\\ \text{g·mol}^{-1},\;A_{\mathrm{Zr}}=91{,}22\\ \text{g·mol}^{-1}.
  • Constante de Avogadro: \;N_{\mathrm{A}}=6{,}023\times10^{23}\\ \text{mol}^{-1}.
Observação importante sobre a estrutura:
  • \mathrm{SrZrO}_3 é um perovskita do tipo \mathrm{ABO}_3 (ou seja, \mathrm{A}_m\mathrm{B}_n\mathrm{X}_p com m=n=1). Nas perovskitas cúbicas ideais: o íon B fica no centro do cubo e os oxigênios nas faces, de modo que a distância B\!-\!O é a/2 (onde a é o parâmetro da cela). Também vale a relação geométrica para A\!-\!O, mas pode não coincidir exata se a estrutura estiver distorcida.

Passo 2

Escolha do método para calcular o parâmetro de rede a e verificação pelo fator de tolerância.
Explicação do raciocínio (didática): em perovskita cúbica ideal existem duas relações geométricas úteis:
\text{(i) } R_B+R_O=\frac{a}{2}\quad\text{(porque o íon B no centro e O na face estão separados por }a/2\text{);}íã
\text{(ii) } R_A+R_O=\frac{a}{\sqrt{2}}\quad\text{(distância entre canto e centro de uma face).}â
Se a estrutura fosse perfeitamente cúbica ambas dariam o mesmo a; se derem valores diferentes, a estrutura é provavelmente distorcida. Para decidir qual usar: como a rede de perovskita é construída a partir de octaedros BO_6 que compartilham vértices, a relação mais direta e usual para estimar a é usar a condição R_B+R_O=a/2. Antes de fixar essa escolha é útil calcular o fator de tolerância de Goldschmidt
t=\dfrac{R_A+R_O}{\sqrt{2}\,(R_B+R_O)}.
Valores típicos: 0{,}8\lesssim t\lesssim1 indica perovskita possivelmente distorcida; se t bem diferente, a forma cúbica ideal não se mantém.
Calcular t com os dados (todos em nm):
R_A+R_O=0,112+0,140=0,252\\ \text{nm},
R_B+R_O=0,072+0,140=0,212\\ \text{nm},
t=\dfrac{0,252}{\sqrt{2}\cdot 0,212}=\dfrac{0,252}{1{,}4142\cdot0,212}=\dfrac{0,252}{0,2997}\approx0{,}841.
Interpretação: t\approx0{,}84 está dentro da faixa de perovskita mas indica certa distorção (não perfeitamente ideal). Mesmo assim, para obter o parâmetro de rede a estimativa usual é usar a relação a=2(R_B+R_O) porque os octaedros BO_6 definem diretamente a distância de aresta do cubo.
Portanto adotarei
\boxed{a=2\,(R_{\mathrm{Zr}}+R_{\mathrm{O}}).}

Passo 3

Cálculo do parâmetro de rede a.
Aplicando a fórmula escolhida:
a = 2\,(0,072+0,140)\\ \text{nm}=2\cdot 0,212\\ \text{nm}=0,424\\ \text{nm}.
Comentário menor: se fosse usada a relação a partir de A\!-\!O, obter-se-ia a=\sqrt{2}(R_A+R_O)=1{,}4142\cdot0,252\approx0,357\\ \text{nm}, diferente de 0,424\\ \text{nm} — isso só confirma distorção; escolhemos a relação B–O porque é a mais direta para perovskitas.

Passo 4

Cálculo do fator de empacotamento (packing factor).
Primeiro, contar quantos íons de cada tipo existem na cela unitária do perovskita \mathrm{ABO}_3:
  • íons A (Sr) em cantos: 8\times\frac{1}{8}=1 átomo por cela;
  • íon B (Zr) no corpo: 1 átomo por cela;
  • íons O nas faces: 6\times\frac{1}{2}=3 átomos por cela.
    Logo a cela contém 1\\ \mathrm{Sr}+1\\ \mathrm{Zr}+3\\ \mathrm{O}.
Volume total ocupado por esferas iônicas (assumindo esferas rígidas e usando os raios iônicos fornecidos):
V_{\text{íons}}=\frac{4}{3}\pi\bigl(R_{\mathrm{Sr}}^{3}+R_{\mathrm{Zr}}^{3}+3R_{\mathrm{O}}^{3}\bigr).í
Calcular os cubos:
R_{\mathrm{Sr}}^{3}=0,112^{3}=0,001405\\ \text{nm}^3,
R_{\mathrm{Zr}}^{3}=0,072^{3}=0,000373\\ \text{nm}^3,
R_{\mathrm{O}}^{3}=0,140^{3}=0,002744\\ \text{nm}^3.
Somando:
S=0,001405+0,000373+3\cdot0,002744=0,001405+0,000373+0,008232=0,010010\\ \text{nm}^3.
Portanto
V_{\text{íons}}=\frac{4}{3}\pi\cdot 0,010010\approx 4{,}18879\cdot0,010010\approx0{,}04193\\ \text{nm}^3.í
Volume da cela unitária:
V_{\text{cela}}=a^{3}=0,424^{3}\\ \text{nm}^3\approx0{,}07623\\ \text{nm}^3.
Fator de empacotamento:
\text{PF}=\dfrac{V_{\text{íons}}}{V_{\text{cela}}}=\dfrac{0{,}04193}{0{,}07623}\approx0{,}550\\ (\text{adimensional}).í
Interpretação: cerca de 55{,}0\% do volume da cela está ocupado pelas esferas iônicas segundo este modelo rígido.

Passo 5

Cálculo da densidade volumétrica.
Massa por cela unitária (em gramas):
M_{\text{cela}}=\dfrac{A_{\mathrm{Sr}}+A_{\mathrm{Zr}}+3A_{\mathrm{O}}}{N_{\mathrm{A}}} =\dfrac{87{,}62+91{,}22+3\cdot16}{6{,}023\times10^{23}}\\ \text{g}.
Somando massas molares:
87{,}62+91{,}22+48=226{,}84\\ \text{g·mol}^{-1}.
Logo
M_{\text{cela}}=\dfrac{226{,}84}{6{,}023\times10^{23}}\\ \text{g}\approx 3{,}766\times10^{-22}\\ \text{g}.
Volume da cela em cm^{3} (conversão: 1\\ \text{nm}^{3}=10^{-21}\\ \text{cm}^3):
V_{\text{cela}}=0{,}07623\\ \text{nm}^3 = 0{,}07623\times10^{-21}\\ \text{cm}^3 = 7{,}623\times10^{-23}\\ \text{cm}^3.
Densidade:
\rho=\dfrac{M_{\text{cela}}}{V_{\text{cela}}}=\dfrac{3{,}766\times10^{-22}\\ \text{g}}{7{,}623\times10^{-23}\\ \text{cm}^3}\approx4{,}94\\ \text{g·cm}^{-3}.
Comentário: valor coerente com cerâmicas à base de zircônio/estrôncio (ordem de grandeza \sim 5\\ \text{g·cm}^{-3}).

Passo 6

Cálculo da DIL para a direção [111].
Explicação e fórmula (didática): a DIL (distância entre nós da rede ao longo de uma direção cristalográfica) pode ser obtida encontrando o menor vetor-lattice não-nulo na direção [u v w]. Para a direção [111] o vector-lattice mais curto entre nós da rede é o que vai de (0,0,0) a (1,1,1) em coordenadas da cela: seu comprimento é
\text{DIL}_{[111]}=a\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=a\sqrt{3}.
Como o gcd de (1,1,1) é 1, não há redução adicional.
Calcular numericamente:
\text{DIL}_{[111]}=0,424\cdot\sqrt{3}=0,424\cdot1{,}73205\approx0{,}735\\ \text{nm}.

Passo 7

Cálculo da DIP para o plano (111).
Explicação e fórmula (didática): a DIP (distância interplanar) para planos (hkl) em uma rede cúbica é dada por
d_{hkl}=\dfrac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}.
Aplicando para (111):
d_{111}=\dfrac{a}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}}=\dfrac{a}{\sqrt{3}}.
Calcular numericamente:
d_{111}=\dfrac{0,424}{1{,}73205}\approx0{,}245\\ \text{nm}.

Passo 8

Resumo rápido dos valores calculados (preparando a resposta final).
Valores obtidos (arredondados com 3 algarismos significativos quando apropriado):
  • a=0,424\\ \text{nm}.
  • Fator de empacotamento \approx0{,}550.
  • Densidade \approx4{,}94\\ \text{g·cm}^{-3}.
  • \text{DIL}_{[111]}\approx0{,}735\\ \text{nm}.
  • \text{DIP}_{(111)}\approx0{,}245\\ \text{nm}.

Resposta

a) a=0,424\\ \text{nm}
b) \text{Fator de empacotamento}\approx0{,}550
c) \rho\approx4{,}94\\ \text{g·cm}^{-3}
d) \text{DIL}_{[111]}\approx0{,}735\\ \text{nm}
e) \text{DIP}_{(111)}\approx0{,}245\\ \text{nm}

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