A massa específica do potássio, que tem estrutura CCC , é de 0,855 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e seu peso atômico é de 39,09 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Calcule:
a) O parâmetro de rede
b) O raio atômico do potássio.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados fornecidos:
    • Massa específica: \rho = 0,855\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.
    • Peso atômico (massa molar): M = 39,09\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
    • Estrutura cristalina: CCC (cúbico de corpo centrado, BCC).
  • O que o exercício pede:
    • (a) Calcular o parâmetro de rede a (comprimento da aresta da cela unitária).
    • (b) Calcular o raio atômico r do potássio.

Passo 2

Entender a relação entre densidade e parâmetro de rede.
Para um cristal, a densidade relaciona o número de átomos por cela unitária n, a massa molar M, a constantede Avogadro N_A e o volume da cela a^3 por:
\rho=\dfrac{n\,M}{N_A\,a^3}.
Explicando cada símbolo:
  • \rho é a massa específica (unidade: \mathrm{g\,cm^{-3}}).
  • n é o número de átomos por célula unitária (para CCC / BCC, n=2 — há 1 átomo no centro + 8 cantos que somam 1 átomo).
  • M é a massa molar (unidade: \mathrm{g\,mol^{-1}}).
  • N_A é o número de Avogadro ( N_A\approx6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}).
  • a é o parâmetro da rede (unidade que usaremos inicialmente: \mathrm{cm}).
Isolando a:
a^3=\dfrac{n\,M}{\rho\,N_A}, \qquad a=\sqrt[3]{\dfrac{n\,M}{\rho\,N_A}}.

Passo 3

Substituir os valores numéricos para calcular a^3.
Usando n=2 e N_A=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}:
a^3=\dfrac{2\cdot 39,09}{0,855\cdot 6,022\times10^{23}}.
Calcular o denominador e o quociente passo a passo:
0,855\cdot 6,022\times10^{23}=5,149\!\times10^{23}\quad(\text{aprox.}),
a^3=\dfrac{78,18}{5,149\times10^{23}} \approx 1,518\times10^{-22}\\ \mathrm{cm^3}.

Passo 4

Calcular a fazendo a raiz cúbica de a^3.
Escrevendo a raiz cúbica:
a=\sqrt[3]{1,518\times10^{-22}}\\ \mathrm{cm}.
Separando mantissa e potência:
a=\sqrt[3]{1,518}\times10^{-22/3}\\ \mathrm{cm}.
Valores aproximados:
\sqrt[3]{1,518}\approx1,151,\qquad 10^{-22/3}=10^{-7,333\ldots}=10^{-7}\cdot10^{-0,333\ldots}\approx10^{-7}\cdot0,46416.
Portanto
a\approx 1,151\cdot0,46416\times10^{-7}\\ \mathrm{cm}\approx5,342\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Converter para unidades usuais: \mathrm{1\\ \AA}=10^{-8}\\ \mathrm{cm}, logo
a\approx5,342\\ \text{\AA}.
Arredondando com três algarismos significativos:
a\approx5,34\\ \text{\AA}.

Passo 5

Determinar o raio atômico r a partir da geometria da rede BCC.
Na estrutura cúbica de corpo centrado, os átomos se tocam ao longo da diagonal do corpo da cela, cuja extensão é a\sqrt{3}. Nessa diagonal, a distância total entre superfícies de átomos corresponde a quatro raios atômicos, ou seja:
a\sqrt{3}=4r.
Isolando r:
r=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.
Substituindo a\approx5,342\\ \text{\AA}:
r=\dfrac{5,342\cdot\sqrt{3}}{4}\\ \text{\AA}.
Como \sqrt{3}\approx1,732:
r\approx\dfrac{5,342\cdot1,732}{4}\\ \text{\AA}\approx2,313\\ \text{\AA}.
Converter para picômetros ( \mathrm{1\\ \AA}=100\\ \mathrm{pm}):
r\approx231,3\\ \mathrm{pm}.
Arredondando com três algarismos significativos:
r\approx2,31\\ \text{\AA}=231\\ \mathrm{pm}.

Resposta

(a) a\approx5,34\\ \text{\AA}
(b) r\approx2,31\\ \text{\AA}=231\\ \mathrm{pm}

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