Calcule P(X <= 1/2, Y <= 1/2).

Passo 1

Tudo bem, vamos resolver o problema: calcular . Aqui, estamos trabalhando com probabilidade conjunta, que nos diz a chance de dois eventos acontecerem ao mesmo tempo. Para resolver isso, precisamos saber como as variáveis e estão distribuídas e se elas são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa a probabilidade de que tanto quanto sejam menores ou iguais a simultaneamente.

Passo 3

Precisamos saber se e são independentes. Variáveis independentes são aquelas em que o valor de uma não afeta o valor da outra. Se forem independentes, podemos calcular a probabilidade conjunta multiplicando as probabilidades individuais.

Passo 4

Vamos assumir que e são independentes e que ambas seguem uma distribuição uniforme no intervalo . Isso significa que cada valor entre 0 e 1 tem a mesma probabilidade de ocorrer para e .

Passo 5

A probabilidade de é , já que a distribuição é uniforme. O mesmo vale para , ou seja, .

Passo 6

Como e são independentes, a probabilidade conjunta é o produto das probabilidades individuais:

Resposta

A probabilidade é .

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