Encontre os limites lim x 1^+ x^4-1x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 1^+ x^4-1x-1. Esse exercício está dentro do conteúdo de Limites na matemática, mais especificamente, estamos lidando com limites de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar regras básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão x^4-1x-1. Note que o numerador x^4-1 é uma diferença de potências, que podemos fatorar usando a fórmula da diferença de quadrados ou, nesse caso, a diferença de potências gerais.
Sabemos que x^n - a^n = (x - a)(x^n-1 + x^n-2a + dots + a^n-1). Aplicando isso para n=4 e a=1, temos:
x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração de volta na expressão original:
x^4 - 1x - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)x - 1
Perceba que o termo (x - 1) está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:
(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)x - 1 = x^3 + x^2 + x + 1

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão para x^3 + x^2 + x + 1, podemos calcular o limite diretamente substituindo x por 1:
lim x 1^+ (x^3 + x^2 + x + 1) = 1^3 + 1^2 + 1 + 1

Passo 5

Fazendo as contas:
1^3 = 1 1^2 = 1 1 = 1 1 = 1
Somando tudo:
1 + 1 + 1 + 1 = 4

Resposta

O limite lim x 1^+ x^4-1x-1 é igual a 4.

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