Calcule partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial x y, partial^2 fpartial y x e partial^2 fpartial y^2 para as funções dadas por:
f(x, y, z)=x e^x-y-z

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x,y,z)=x,e^,x - y - z
e queremos calcular as segundas derivadas parciais
partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial x y, partial^2 fpartial y x e partial^2 fpartial y^2.
Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada parcial de primeira ordem em x. Como f é produto de x e e^x-y-z, pela regra do produto e da cadeia:
fx =partial(x)partial x,e^x-y-z + x,partiall(e^x-y-zr)partial x =e^x-y-z + x,e^x-y-z =(1+x),e^x-y-z

Passo 3

Agora derivamos fx=(1+x)e^x-y-z em relação a x, de novo usando produto e cadeia:
fxx =partialpartial xl((1+x)e^x-y-zr) =underbracepartial(1+x)partial x1e^x-y-z +(1+x)underbracepartial(e^x-y-z)partial xe^x-y-z =e^x-y-z+(1+x)e^x-y-z =(2+x),e^x-y-z

Passo 4

Para partial^2 fpartial x,partial y derivamos fx=(1+x)e^x-y-z em relação a y. A dependência em y está só no expoente, cuja derivada é -1:
fxy =partial fxpartial y =(1+x),e^x-y-z,l(-1r) =-(1+x),e^x-y-z

Passo 5

Agora calculamos a primeira derivada parcial em y. Como x e z são constantes, aplica-se a regra da cadeia ao fator exponencial:
fy =partialpartial yl(x,e^x-y-zr) =x,partiall(e^x-y-zr)partial y =x,e^x-y-z,(-1) =-x,e^x-y-z

Passo 6

Por fim derivamos fy=-x,e^x-y-z em relação a x e a y:
fyx =partial fypartial x =partial(-x)partial x,e^x-y-z +(-x),partial(e^x-y-z)partial x =-e^x-y-z-x,e^x-y-z =-(1+x),e^x-y-z,
fyy =partial fypartial y =-x,partial(e^x-y-z)partial y =-x,e^x-y-z,(-1) =x,e^x-y-z

Resposta

fxx=(2+x),e^x-y-z, fxy=fyx=-(1+x),e^x-y-z, fyy=x,e^x-y-z

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