Calcule os limites laterais:

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais do quociente dfracf(x)-f(1)x-1 quando xto1, sendo
f(x)= x+1, & x>=1, 2x, & x<1
O conteúdo aqui é cálculo de limites laterais em função por partes (e, na prática, de derivada lateral).

Passo 2

Primeiro, precisamos do valor de f(1). Como 1>=1, usamos o primeiro ramo:
f(1)=1+1=2

Passo 3

Para o limite pela direita ( xto1^+), vale f(x)=x+1, então
f(x)-f(1)x-1 =(x+1)-2x-1 =x-1x-1 =1 Longrightarrow limxto1^+f(x)-f(1)x-1=1

Passo 4

Para o limite pela esquerda ( xto1^-), vale f(x)=2x, então
f(x)-f(1)x-1 =2x-2x-1 =2(x-1)x-1 =2 Longrightarrow limxto1^-f(x)-f(1)x-1=2

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe (ou seja, a derivada em x=1 não existe).

Resposta

limxto1^-f(x)-f(1)x-1=2,
limxto1^+f(x)-f(1)x-1=1

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