Calcule partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial x y, partial^2 fpartial y x e partial^2 fpartial y^2 para as funções dadas por:
f(x, y)=5 x^4 y^2+x y^3+4

Passo 1

Vamos achar as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=5x^4y^2+x y^3+4
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais sucessivas: primeiro obtemos partial fpartial x e partial fpartial y, e então derivamos cada uma novamente em x e em y.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem
partial fpartial x =partialpartial xl(5x^4y^2r) +partialpartial xl(xy^3r) +partialpartial x(4) =20x^3y^2+y^3,
partial fpartial y =partialpartial yl(5x^4y^2r) +partialpartial yl(xy^3r) +partialpartial y(4) =10x^4y+3x,y^2

Passo 3

Derivar partial fpartial x em x e em y para obter
partial^2fpartial x^2 =partialpartial xl(20x^3y^2+y^3r) =60x^2y^2+0 =60x^2y^2,
partial^2fpartial x,partial y =partialpartial yl(20x^3y^2+y^3r) =40x^3y+3y^2

Passo 4

Derivar partial fpartial y em x e em y para obter
partial^2fpartial y,partial x =partialpartial xl(10x^4y+3x,y^2r) =40x^3y+3y^2,
partial^2fpartial y^2 =partialpartial yl(10x^4y+3x,y^2r) =10x^4+6x,y

Passo 5

Repare que partial^2fpartial x,partial y=partial^2fpartial y,partial x, conforme o teorema de Schwarz (função suficientemente suave).

Resposta

partial^2fpartial x^2=60x^2y^2, partial^2fpartial x,partial y=40x^3y+3y^2,
partial^2fpartial y,partial x=40x^3y+3y^2, partial^2fpartial y^2=10x^4+6x,y

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