Calcule
e
no ponto
, sabendo que
é definida implicitamente pela equação
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: calcular
e no ponto , sabendo que está definida implicitamente por uma equação envolvendo . - Informação dada: a função
que define implicitamente:
- Observação importante:
é uma constante (o número ao quadrado).
Nada mais é fornecido; vamos usar diferenciação implícita para obtere .
Passo 2
Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática).
- Quando
é definida implicitamente por , a regra da cadeia aplicada às derivadas parciais dá, para derivar em relação a mantendo fixo:
Pelo teorema da cadeia para funções de várias variáveis isso se escreve como
onde:
-
é a derivada parcial de em relação a mantendo e independentes (ou seja: derivar como função de tratando constantes); -
é a derivada parcial de em relação a mantendo e constantes; -
é o que queremos. - Isolando
obtemos a fórmula padrão:
válida quando
no ponto (isso garante que localmente
é função de
segundo o lema de função implícita).
- De modo análogo, derivando em relação a
(agora mantendo fixo) obtemos
onde
é a parcial de
em relação a
.
Resumo: preciso calcular
simbolicamente e então avaliá-los em
e aplicar as fórmulas acima.
Passo 3
Calcular
termo a termo (explicando cada derivada).
A função é
Derivo cada termo em relação a
, tratando
e
como constantes:
- Derivada de
em relação a é (porque é uma constante multiplicada por ). - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Calcular
termo a termo.
Derivo cada termo em relação a
, tratando
e
como constantes:
- Para
: a derivada é . - Para
: a derivada é . - Para
: derivada é (não depende de ). -
dá .
Logo
Passo 5
Calcular
termo a termo.
Derivo cada termo em relação a
, tratando
e
como constantes:
- Para
: derivada é . - Para
: derivada é . - Para
: derivada é . -
dá .
Portanto
Passo 6
Avaliar
no ponto
e checar
.
Substituindo
,
,
:
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Observação:
, então as fórmulas
e
são aplicáveis.
Passo 7
Calcular numericamente
e
no ponto.
Usando as fórmulas:
Pequeno comentário de ânimo: já era — seguimos a receita: derivada implícita, calcular parciais de
, avaliar e dividir. Mandou bem por chegar até aqui!