(7,0) Calcule \partial z / \partial x e \partial z / \partial y no ponto (1,1,1), sabendo que z=z(x, y) é definida implicitamente pela equação F(x, y, z)=x y^{2} z+x y^{3}+2 x z^{4}+ e^{2}=0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} no ponto (1,1,1), sabendo que z=z(x,y) está definida implicitamente por uma equação envolvendo x,y,z.
  • Informação dada: a função F que define z implicitamente:
F(x,y,z)=x y^{2} z + x y^{3} + 2 x z^{4} + e^{2}=0.
  • Observação importante: e^{2} é uma constante (o número e ao quadrado).
    Nada mais é fornecido; vamos usar diferenciação implícita para obter \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática).
  • Quando z é definida implicitamente por F(x,y,z(x,y))=0, a regra da cadeia aplicada às derivadas parciais dá, para derivar em relação a x mantendo y fixo:
\frac{\partial}{\partial x}F(x,y,z(x,y)) = 0.
Pelo teorema da cadeia para funções de várias variáveis isso se escreve como
F_x(x,y,z)+F_z(x,y,z)\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=0,
onde:
  • F_x é a derivada parcial de F em relação a x mantendo y e z independentes (ou seja: derivar F como função de (x,y,z) tratando y,z constantes);
  • F_z é a derivada parcial de F em relação a z mantendo x e y constantes;
  • \dfrac{\partial z}{\partial x} é o que queremos.
  • Isolando \dfrac{\partial z}{\partial x} obtemos a fórmula padrão:
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},
válida quando F_z\neq 0 no ponto (isso garante que localmente z é função de x,y segundo o lema de função implícita).
  • De modo análogo, derivando em relação a y (agora mantendo x fixo) obtemos
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z},
onde F_y é a parcial de F em relação a y.
Resumo: preciso calcular F_x,F_y,F_z simbolicamente e então avaliá-los em (1,1,1) e aplicar as fórmulas acima.

Passo 3

Calcular F_x(x,y,z) termo a termo (explicando cada derivada).
A função é
F(x,y,z)=x y^{2} z + x y^{3} + 2 x z^{4} + e^{2}.
Derivo cada termo em relação a x, tratando y e z como constantes:
  • Derivada de x y^{2} z em relação a x é y^{2} z (porque é uma constante multiplicada por x).
  • Derivada de x y^{3} em relação a x é y^{3}.
  • Derivada de 2 x z^{4} em relação a x é 2 z^{4}.
  • Derivada de e^{2} é 0.
Portanto
F_x(x,y,z)=y^{2} z + y^{3} + 2 z^{4}.

Passo 4

Calcular F_y(x,y,z) termo a termo.
Derivo cada termo em relação a y, tratando x e z como constantes:
  • Para x y^{2} z: a derivada é x\cdot 2y \cdot z = 2 x y z.
  • Para x y^{3}: a derivada é x\cdot 3y^{2} = 3 x y^{2}.
  • Para 2 x z^{4}: derivada é 0 (não depende de y).
  • e^{2} 0.
Logo
F_y(x,y,z)=2 x y z + 3 x y^{2}.

Passo 5

Calcular F_z(x,y,z) termo a termo.
Derivo cada termo em relação a z, tratando x e y como constantes:
  • Para x y^{2} z: derivada é x y^{2}.
  • Para x y^{3}: derivada é 0.
  • Para 2 x z^{4}: derivada é 2 x \cdot 4 z^{3} = 8 x z^{3}.
  • e^{2} 0.
Portanto
F_z(x,y,z)=x y^{2} + 8 x z^{3}.

Passo 6

Avaliar F_x,F_y,F_z no ponto (1,1,1) e checar F_z\neq 0.
Substituindo x=1, y=1, z=1:
Calcular F_x(1,1,1):
F_x(1,1,1)=1^{2}\cdot 1 + 1^{3} + 2\cdot 1^{4} = 1 + 1 + 2 = 4.
Calcular F_y(1,1,1):
F_y(1,1,1)=2\cdot 1\cdot 1\cdot 1 + 3\cdot 1\cdot 1^{2} = 2 + 3 = 5.
Calcular F_z(1,1,1):
F_z(1,1,1)=1\cdot 1^{2} + 8\cdot 1\cdot 1^{3} = 1 + 8 = 9.
Observação: F_z(1,1,1)=9\neq 0, então as fórmulas \dfrac{\partial z}{\partial x}=-F_x/F_z e \dfrac{\partial z}{\partial y}=-F_y/F_z são aplicáveis.

Passo 7

Calcular numericamente \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} no ponto.
Usando as fórmulas:
\frac{\partial z}{\partial x}(1,1,1) = -\frac{F_x(1,1,1)}{F_z(1,1,1)} = -\frac{4}{9}.
\frac{\partial z}{\partial y}(1,1,1) = -\frac{F_y(1,1,1)}{F_z(1,1,1)} = -\frac{5}{9}.
Pequeno comentário de ânimo: já era — seguimos a receita: derivada implícita, calcular parciais de F, avaliar e dividir. Mandou bem por chegar até aqui!

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x}(1,1,1) = -\dfrac{4}{9}
\dfrac{\partial z}{\partial y}(1,1,1) = -\dfrac{5}{9}

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