(7,0) Faça um esboço da região limitada pela curva r=\cos (2 \theta), 0 \leq \theta \leq 2 \pi. Calcule a área dessa região.

Passo 1

O enunciado dá a curva polar r=\cos(2\theta) com o parâmetro variando em 0 \leq \theta \leq 2\pi. Pede duas coisas:
  • Fazer um esboço (desenho aproximado) da região limitada por essa curva.
  • Calcular a área dessa região.
Informações fornecidas explicitamente:
  • A equação em coordenadas polares é r=\cos(2\theta).
  • O intervalo de \theta é [0,2\pi].
O que vou entregar: orientação passo a passo para desenhar a curva (onde ficam zeros, máximos, simetrias e pontos de amostra) e o cálculo detalhado da área.

Passo 2

Breve revisão necessária (sem pressupor conhecimento prévio):
  • Em coordenadas polares um ponto é dado por (r,\theta), que corresponde ao ponto cartesiano
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Se r for negativo, o ponto (r,\theta) é o mesmo que (-r,\theta+\pi) — ou seja, um raio negativo reflete o ponto para o sentido oposto (isso afeta o esboço).
  • Fórmula prática para área em coordenadas polares: se uma curva polar é dada por r=r(\theta) e a região é descrita variando \theta num intervalo, a área da região (ou de um pedaço dela) é dada por
\text{Área}=\frac{1}{2}\int r(\theta)^2\,d\theta.Á
Intuição rápida: para um pequeno intervalo angular \Delta\theta a área aproximada é a área de um setor de raio r, que é \tfrac{1}{2}r^2\Delta\theta; integrando sobre \theta obtemos a fórmula.

Passo 3

Análise da curva r=\cos(2\theta) — zeros, máximos, simetrias e onde estão as pétalas.
  • Zeros (onde r=0): \cos(2\theta)=0\Rightarrow 2\theta=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Portanto os zeros são
\theta=\frac{\pi}{4},\\ \frac{3\pi}{4},\\ \frac{5\pi}{4},\\ \frac{7\pi}{4}.
Esses ângulos cortam o gráfico no polo (origem).
  • Máximos e mínimos:
    • Máximo: \cos(2\theta)=1 em 2\theta=2k\pi\Rightarrow \theta=k\pi. Então r=1 em \theta=0,\pi.
    • Mínimo: \cos(2\theta)=-1 em 2\theta=(2k+1)\pi\Rightarrow \theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}. Nesses ângulos r=-1, ou seja, o traçado irá apontar para o lado oposto (produzindo pétalas também).
  • Observação sobre número de pétalas: para r=\cos(n\theta), se n é par a curva tem 2n pétalas? Na verdade a regra prática é: se n é par, o número de pétalas é 2n? (essa é uma formulação comum, mas para n=2 obtemos 4 pétalas). Aqui, n=2 => 4 pétalas.
  • Intervalos de sinal de r: entre \theta=-\tfrac{\pi}{4} e \tfrac{\pi}{4} (ou equivalentemente entre \tfrac{7\pi}{4} e \tfrac{\pi}{4} modulando) temos \cos(2\theta)\ge0 — é uma pétala centrada ao longo do eixo \theta=0. De forma simétrica, há outras três pétalas, totalizando quatro pétalas iguais, situadas ao longo dos eixos principais (eixo x e eixo y), cada uma com comprimento máximo 1.
Resumo geométrico para o esboço: a curva é uma “rosa” com quatro pétalas de comprimento máximo 1, com interseções com a origem nos ângulos listados; pétalas alinhadas com os eixos cardeais.

Passo 4

Como esboçar passo a passo (prático, para a prova — sem calculadora):
  1. Marcar no círculo-angular os ângulos \theta=0,\\ \tfrac{\pi}{4},\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \tfrac{3\pi}{4},\\ \pi,\\ \ldots até 2\pi.
  2. Nos ângulos \theta=0 e \theta=\pi a curva atinge r=1: marcar pontos em (1,0) e (-1,0).
  3. Nos ângulos \theta=\tfrac{\pi}{2} e \theta=\tfrac{3\pi}{2} temos r=-1. Lembrete: r=-1 em \theta=\tfrac{\pi}{2} corresponde ao ponto com coordenada polar (1,\tfrac{3\pi}{2}), ou seja (0,-1); isso coloca pétalas ao longo do eixo y também.
  4. Entre \theta=-\tfrac{\pi}{4} e \tfrac{\pi}{4} a função é positiva e varia de 0 a 1; traçar uma pétala curta que parte da origem em \theta=-\tfrac{\pi}{4}, cresce até r=1 em \theta=0 e volta a zero em \theta=\tfrac{\pi}{4}.
  5. Repetir simetricamente para os outros três intervalos de comprimento \tfrac{\pi}{2} que produzem as outras pétalas.
  6. O resultado é uma “rosa” com quatro pétalas simétricas, cada pétala ocupando um intervalo de \theta de comprimento \tfrac{\pi}{2}.
Essa descrição dá o esboço pedido: quatro pétalas iguais, centro na origem, cada uma com comprimento máxima 1 e interseções com a origem nos ângulos \theta=\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}.

Passo 5

Agora o cálculo da área, com raciocínio passo a passo e todas as contas explicadas.
Estratégia: calcular a área de uma única pétala e multiplicar por 4 (são quatro pétalas iguais). Uma pétala corresponde ao intervalo de \theta onde r\ge0; por exemplo usar \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right]. Pela fórmula de área em polares:
\text{Área da pétala} = \frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} r(\theta)^2\,d\theta,Áé
aqui r(\theta)=\cos(2\theta) e escolhemos \theta_1=-\tfrac{\pi}{4}, \theta_2=\tfrac{\pi}{4}.

Passo 6

Cálculo explícito da integral (mostrando cada passo):
Começamos com
A_{\text{pétala}}=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2(2\theta)\,d\theta.é
Usamos a identidade trigonométrica
\cos^2 u = \frac{1+\cos(2u)}{2}.
Aplicando com u=2\theta
\cos^2(2\theta)=\frac{1+\cos(4\theta)}{2}.
Substituindo na integral:
A_{\text{pétala}}=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\cos(4\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{4}\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \bigl(1+\cos(4\theta)\bigr)\,d\theta.é
Agora integrar termo a termo:
\int \bigl(1+\cos(4\theta)\bigr)\,d\theta = \theta + \frac{1}{4}\sin(4\theta).
Portanto
A_{\text{pétala}}=\frac{1}{4}\left[\theta + \frac{1}{4}\sin(4\theta)\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}.é
Avaliação nos limites:
  • O termo \theta contribui com \tfrac{\pi}{4}-\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\pi}{2}.
  • O termo \sin(4\theta) vale \sin(\pi)=0 no limite superior e \sin(-\pi)=0 no limite inferior, portanto essa parte é zero.
Assim
A_{\text{pétala}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}.é

Passo 7

Área total: como são quatro pétalas iguais,
A_{\text{total}} = 4\cdot A_{\text{pétala}} = 4\cdot\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}.é
Interpretando: a área da região limitada pela curva r=\cos(2\theta) para 0\le\theta\le2\pi é \tfrac{\pi}{2}. (O esboço é a rosa de quatro pétalas descrita anteriormente.)

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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