(7,0) Faça um esboço da região limitada pela curva
. Calcule a área dessa região.
Passo 1
O enunciado dá a curva polar
com o parâmetro variando em
. Pede duas coisas:
- Fazer um esboço (desenho aproximado) da região limitada por essa curva.
- Calcular a área dessa região.
Informações fornecidas explicitamente:
- A equação em coordenadas polares é
. - O intervalo de
é .
O que vou entregar: orientação passo a passo para desenhar a curva (onde ficam zeros, máximos, simetrias e pontos de amostra) e o cálculo detalhado da área.
Passo 2
Breve revisão necessária (sem pressupor conhecimento prévio):
- Em coordenadas polares um ponto é dado por
, que corresponde ao ponto cartesiano
Se
for negativo, o ponto
é o mesmo que
— ou seja, um raio negativo reflete o ponto para o sentido oposto (isso afeta o esboço).
- Fórmula prática para área em coordenadas polares: se uma curva polar é dada por
e a região é descrita variando num intervalo, a área da região (ou de um pedaço dela) é dada por
Intuição rápida: para um pequeno intervalo angular
a área aproximada é a área de um setor de raio
, que é
; integrando sobre
obtemos a fórmula.
Passo 3
Análise da curva
— zeros, máximos, simetrias e onde estão as pétalas.
- Zeros (onde
): . Portanto os zeros são
Esses ângulos cortam o gráfico no polo (origem).
-
Máximos e mínimos:
- Máximo:
em . Então em . - Mínimo:
em . Nesses ângulos , ou seja, o traçado irá apontar para o lado oposto (produzindo pétalas também).
- Máximo:
-
Observação sobre número de pétalas: para
, se é par a curva tem pétalas? Na verdade a regra prática é: se é par, o número de pétalas é ? (essa é uma formulação comum, mas para obtemos 4 pétalas). Aqui, => 4 pétalas. -
Intervalos de sinal de
: entre e (ou equivalentemente entre e modulando) temos — é uma pétala centrada ao longo do eixo . De forma simétrica, há outras três pétalas, totalizando quatro pétalas iguais, situadas ao longo dos eixos principais (eixo e eixo ), cada uma com comprimento máximo .
Resumo geométrico para o esboço: a curva é uma “rosa” com quatro pétalas de comprimento máximo
, com interseções com a origem nos ângulos listados; pétalas alinhadas com os eixos cardeais.
Passo 4
Como esboçar passo a passo (prático, para a prova — sem calculadora):
- Marcar no círculo-angular os ângulos
até . - Nos ângulos
e a curva atinge : marcar pontos em e . - Nos ângulos
e temos . Lembrete: em corresponde ao ponto com coordenada polar , ou seja ; isso coloca pétalas ao longo do eixo também. - Entre
e a função é positiva e varia de a ; traçar uma pétala curta que parte da origem em , cresce até em e volta a zero em . - Repetir simetricamente para os outros três intervalos de comprimento
que produzem as outras pétalas. - O resultado é uma “rosa” com quatro pétalas simétricas, cada pétala ocupando um intervalo de
de comprimento .
Essa descrição dá o esboço pedido: quatro pétalas iguais, centro na origem, cada uma com comprimento máxima
e interseções com a origem nos ângulos
.
Passo 5
Agora o cálculo da área, com raciocínio passo a passo e todas as contas explicadas.
Estratégia: calcular a área de uma única pétala e multiplicar por
(são quatro pétalas iguais). Uma pétala corresponde ao intervalo de
onde
; por exemplo usar
. Pela fórmula de área em polares:
aqui
e escolhemos
,
.
Passo 6
Cálculo explícito da integral (mostrando cada passo):
Começamos com
Usamos a identidade trigonométrica
Aplicando com
dá
Substituindo na integral:
Agora integrar termo a termo:
Portanto
Avaliação nos limites:
- O termo
contribui com . - O termo
vale no limite superior e no limite inferior, portanto essa parte é zero.
Assim
Passo 7
Área total: como são quatro pétalas iguais,
Interpretando: a área da região limitada pela curva
para
é
. (O esboço é a rosa de quatro pétalas descrita anteriormente.)