Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
\iint_{D} e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d A, D onde está o disco com centro na origem e raio 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\,dA,
onde D é o disco centrado na origem de raio 1.
Informações dadas:
  • A região D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • A função a integrar é e^{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
    O pedido explícito é que a integral seja calculada usando coordenadas polares.

Passo 2

Lembrete sobre coordenadas polares (passo-a-passo, sem pressa):
  • Nas coordenadas polares define-se
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo.
  • A relação entre a área elementar dA em coordenadas cartesianas e polares é
dA = r\,dr\,d\theta.
Isto aparece porque um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta (o fator r é o jacobiano da transformação).
  • No disco de raio 1 os limites são 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

Transformar a integranda e a região:
  • Observa que x^{2}+y^{2}=r^{2}. Então
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = (r^{2})^{2} = r^{4},
e portanto a função vira e^{r^{4}} nas polares.
  • Usando dA=r\,dr\,d\theta e os limites do disco, a integral torna-se a iterada
\iint_{D} e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\,dA = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} e^{r^{4}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Resolver a integral iterada por partes simples:
  • Primeiro integramos em \theta. Como a integranda não depende de \theta,
\int_{0}^{2\pi}\,d\theta = 2\pi,
logo
\iint_{D}\cdots = 2\pi \int_{0}^{1} e^{r^{4}}\,r\,dr.
  • Agora focamos em \displaystyle \int_{0}^{1} e^{r^{4}}\,r\,dr. Para simplificar, faça a substituição
t = r^{2}\quad\Rightarrow\quad dt = 2r\,dr \quad\text{ou}\quad r\,dr = \tfrac{1}{2}\,dt.
Quando r vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1. Assim
\int_{0}^{1} e^{r^{4}}\,r\,dr = \int_{t=0}^{1} e^{t^{2}}\cdot \tfrac{1}{2}\,dt = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{t^{2}}\,dt.
  • Substituindo de volta no fator 2\pi,
\iint_{D} e^{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dA = 2\pi\cdot \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{t^{2}}\,dt = \pi \int_{0}^{1} e^{t^{2}}\,dt.

Passo 5

Sobre a integral \displaystyle \int_{0}^{1} e^{t^{2}}\,dt:
  • Importante: a função e^{t^{2}} não tem primitiva expressável em termos de funções elementares (não existe uma antiderivada “fechada” com polinômios, exponenciais, log, aritméticas simples).
  • Podemos expressar essa integral usando a função erro imaginária \operatorname{erfi}(x), definida por
\operatorname{erfi}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{u^{2}}\,du.
Dessa definição segue
\int_{0}^{1} e^{t^{2}}\,dt = \tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(1).
  • Portanto a integral final pode ser escrita de forma fechada em termos de \operatorname{erfi}:
\iint_{D} e^{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dA = \pi\cdot \tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,\operatorname{erfi}(1) = \tfrac{\pi^{3/2}}{2}\,\operatorname{erfi}(1).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{3/2}}{2}\,\operatorname{erfi}(1)\\ \approx\\\ 4{,}595120

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