Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
onde está o disco com centro na origem e raio 1
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco centrado na origem de raio
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A região
é o disco . - A função a integrar é
.
O pedido explícito é que a integral seja calculada usando coordenadas polares.
Passo 2
Lembrete sobre coordenadas polares (passo-a-passo, sem pressa):
- Nas coordenadas polares define-se
onde
é a distância à origem e
é o ângulo.
- A relação entre a área elementar
em coordenadas cartesianas e polares é
Isto aparece porque um pequeno retângulo em
tem área aproximada
(o fator
é o jacobiano da transformação).
- No disco de raio
os limites são e .
Passo 3
Transformar a integranda e a região:
- Observa que
. Então
e portanto a função vira
nas polares.
- Usando
e os limites do disco, a integral torna-se a iterada
Passo 4
Resolver a integral iterada por partes simples:
- Primeiro integramos em
. Como a integranda não depende de ,
logo
- Agora focamos em
. Para simplificar, faça a substituição
Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
- Substituindo de volta no fator
,
Passo 5
Sobre a integral
:
- Importante: a função
não tem primitiva expressável em termos de funções elementares (não existe uma antiderivada “fechada” com polinômios, exponenciais, log, aritméticas simples). - Podemos expressar essa integral usando a função erro imaginária
, definida por
Dessa definição segue
- Portanto a integral final pode ser escrita de forma fechada em termos de
: