Calcule \partial z / \partial x e \partial z / \partial y se z=f(x, y) é definida implicitamente pela equação dada:
y x^{2}+z^{2}+\cos (x y z)=4

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dá a equação implícita que relaciona x, y e z:
y x^{2}+z^{2}+\cos(x y z)=4.
  • Diz que z=f(x,y) é definida implicitamente por essa equação (ou seja, z depende de x e y).
  • Pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes a ter em mente (sem resolver ainda):
  • Ao calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} tratamos y como constante e derivamos ambos os lados da equação em relação a x.
  • Ao calcular \dfrac{\partial z}{\partial y} tratamos x como constante e derivamos ambos os lados da equação em relação a y.
  • A função trigonométrica \cos(\cdot) e o termo z^{2} envolvem z, que é função de x,y; isso exige uso da regra da cadeia.

Passo 2

Relembre rapidinho (e de forma prática) as regras que vamos usar:
  • Derivada de uma soma é soma das derivadas.
  • Regra da cadeia (estritamente): se u=u(x) então \dfrac{d}{dx}\cos(u)=-\sin(u)\,u'.
  • Se z=z(x,y), então ao derivar z^{2} em relação a x obtemos, pela cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{2}\bigr)=2z\frac{\partial z}{\partial x},
porque tratamos z^{2} como u^{2} com u=z(x,y) e aplicamos 2u\,u'.
  • Para um produto onde uma das parcelas depende de x (por exemplo x\cdot z(x,y)) usa-se a regra do produto: (x\cdot z)' = 1\cdot z + x\cdot z_x (quando derivando em relação a x).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}: derivar a equação em relação a x, mantendo y constante.
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(y x^{2}\bigr)=y\cdot 2x = 2xy, porque y é constante.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{2}\bigr)=2z\,z_x, usando a regra da cadeia ( z_x denota \partial z/\partial x).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(x y z)\bigr) = -\sin(x y z)\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(x y z) (regra da cadeia).
Agora calcular \dfrac{\partial}{\partial x}(x y z): aqui y é constante, x é variável e z=z(x,y). Pelo produto:
\frac{\partial}{\partial x}(x y z)=y\cdot z + x y\cdot z_x,
pois trata-se de x\cdot (y z) com y z dependendo de x só por z.
Portanto, a derivada completa da equação em relação a x fica:
2xy + 2z\,z_x - \sin(x y z)\bigl(y z + x y z_x\bigr)=0,
já que o lado direito 4 tem derivada zero.

Passo 4

Isolar z_x (ou seja, \dfrac{\partial z}{\partial x}) a partir da equação obtida.
Expandindo o termo com \sin e agrupando os termos que envolvem z_x:
2xy + 2z\,z_x - y z\sin(x y z) - x y z_x\sin(x y z)=0.
Colocando os termos em z_x juntos:
\bigl(2z - x y \sin(x y z)\bigr) z_x + \bigl(2xy - y z\sin(x y z)\bigr)=0.
Passando o segundo grupo para o outro lado:
\bigl(2z - x y \sin(x y z)\bigr) z_x = y z\sin(x y z) - 2xy.
Dividindo pelo fator multiplicando z_x (assumindo provisoriamente que não é zero — caso em que o problema pede discussão separada):
z_x = \dfrac{y z\sin(x y z) - 2xy}{2z - x y \sin(x y z)}.
Podemos fatorar y no numerador se quiser:
z_x = \dfrac{y\bigl(z\sin(x y z) - 2x\bigr)}{2z - x y \sin(x y z)}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y}: derivar a equação em relação a y, mantendo x constante.
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(y x^{2}\bigr)=x^{2}, porque x^{2} é constante ao derivar em relação a y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(z^{2}\bigr)=2z\,z_y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(x y z)\bigr) = -\sin(x y z)\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(x y z).
Agora \dfrac{\partial}{\partial y}(x y z): aqui x é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}(x y z)=x\cdot z + x y\cdot z_y,
pela regra do produto (tratando x y como x\cdot y com x constante).
A derivada completa da equação em relação a y é então:
x^{2} + 2z\,z_y - \sin(x y z)\bigl(x z + x y z_y\bigr)=0.

Passo 6

Isolar z_y (ou seja, \dfrac{\partial z}{\partial y}) a partir da equação obtida.
Expandindo e agrupando termos com z_y:
x^{2} + 2z\,z_y - x z\sin(x y z) - x y z_y\sin(x y z)=0.
Agrupando:
\bigl(2z - x y \sin(x y z)\bigr) z_y + \bigl(x^{2} - x z\sin(x y z)\bigr)=0.
Passando o segundo grupo para o outro lado:
\bigl(2z - x y \sin(x y z)\bigr) z_y = x z\sin(x y z) - x^{2}.
Dividindo:
z_y = \dfrac{x z\sin(x y z) - x^{2}}{2z - x y \sin(x y z)}.
Também se pode fatorar x no numerador:
z_y = \dfrac{x\bigl(z\sin(x y z) - x\bigr)}{2z - x y \sin(x y z)}.

Passo 7

Observações finais rápidas e úteis para a prova (curtas e práticas):
  • As expressões obtidas são válidas sempre que o denominador 2z - x y \sin(x y z) for diferente de zero. Se o denominador for zero naquele ponto, a derivada parcial pode não existir (ou ser infinita); aí seria preciso analisar caso a caso.
  • Estrutura típica: ao derivar implicitamente aparece \dfrac{\partial}{\partial x}(z) multiplicada por 2z (vindo de z^{2}) e por outro termo vindo da cadeia do \cos. O procedimento padrão é sempre o mesmo: derive, agrupe os termos com z_x (ou z_y), e isole.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y z\sin(x y z)-2xy}{2z - x y \sin(x y z)}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x z\sin(x y z)-x^{2}}{2z - x y \sin(x y z)}

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