Calcule
e
se
é definida implicitamente pela equação dada:
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Dá a equação implícita que relaciona
, e :
- Diz que
é definida implicitamente por essa equação (ou seja, depende de e ). - Pede para calcular as derivadas parciais
e .
Informações relevantes a ter em mente (sem resolver ainda):
- Ao calcular
tratamos como constante e derivamos ambos os lados da equação em relação a . - Ao calcular
tratamos como constante e derivamos ambos os lados da equação em relação a . - A função trigonométrica
e o termo envolvem , que é função de ; isso exige uso da regra da cadeia.
Passo 2
Relembre rapidinho (e de forma prática) as regras que vamos usar:
- Derivada de uma soma é soma das derivadas.
- Regra da cadeia (estritamente): se
então . - Se
, então ao derivar em relação a obtemos, pela cadeia,
porque tratamos
como
com
e aplicamos
.
- Para um produto onde uma das parcelas depende de
(por exemplo ) usa-se a regra do produto: (quando derivando em relação a ).
Passo 3
Calcular
: derivar a equação em relação a
, mantendo
constante.
Derivando termo a termo:
-
, porque é constante. -
, usando a regra da cadeia ( denota ). -
(regra da cadeia).
Agora calcular
: aqui
é constante,
é variável e
. Pelo produto:
pois trata-se de
com
dependendo de
só por
.
Portanto, a derivada completa da equação em relação a
fica:
já que o lado direito
tem derivada zero.
Passo 4
Isolar
(ou seja,
) a partir da equação obtida.
Expandindo o termo com
e agrupando os termos que envolvem
:
Colocando os termos em
juntos:
Passando o segundo grupo para o outro lado:
Dividindo pelo fator multiplicando
(assumindo provisoriamente que não é zero — caso em que o problema pede discussão separada):
Podemos fatorar
no numerador se quiser:
Passo 5
Calcular
: derivar a equação em relação a
, mantendo
constante.
Derivando termo a termo:
-
, porque é constante ao derivar em relação a . -
. -
.
Agora
: aqui
é constante, então
pela regra do produto (tratando
como
com
constante).
A derivada completa da equação em relação a
é então:
Passo 6
Isolar
(ou seja,
) a partir da equação obtida.
Expandindo e agrupando termos com
:
Agrupando:
Passando o segundo grupo para o outro lado:
Dividindo:
Também se pode fatorar
no numerador:
Passo 7
Observações finais rápidas e úteis para a prova (curtas e práticas):
- As expressões obtidas são válidas sempre que o denominador
for diferente de zero. Se o denominador for zero naquele ponto, a derivada parcial pode não existir (ou ser infinita); aí seria preciso analisar caso a caso. - Estrutura típica: ao derivar implicitamente aparece
multiplicada por (vindo de ) e por outro termo vindo da cadeia do . O procedimento padrão é sempre o mesmo: derive, agrupe os termos com (ou ), e isole.