Calcule partial zpartial u e partial zpartial v determinando a função z(u, v) e derivando em relação a u e a v. Supondo f e g diferenciáveis, f(1)=2, g(1)=-2, d xd u(1)=-1 e d yd u(1)=5, calcule d zd u(1).

Passo 1

O enunciado define uma função de duas etapas: primeiro
z = fl(x(u,v)r) + gl(y(u,v)r),
depois x e y dependem de (u,v). O conteúdo é regra da cadeia em multivariáveis, onde vamos escrever z explicitamente como função de (u,v) e em seguida calcular partial z/partial u e partial z/partial v.

Passo 2

Expressamos z em função de (u,v):
z(u,v) = fl(x(u,v)r) ;+; gl(y(u,v)r)

Passo 3

Para partial zpartial u aplicamos a regra da cadeia:
partial zpartial u = f'l(x(u,v)r),partial xpartial u + g'l(y(u,v)r),partial ypartial u

Passo 4

Para partial zpartial v o raciocínio é análogo:
partial zpartial v = f'l(x(u,v)r),partial xpartial v + g'l(y(u,v)r),partial ypartial v

Passo 5

Agora, para calcular dzdu(1) (mantendo v fixo), basta avaliar partial z/partial u em u=1. Supondo que
x(1,v)=1, y(1,v)=1, f'(1)=2, g'(1)=-2,
e foram dados
dxdu(1)=-1, dydu(1)=5,
temos
dzdu(1) = f'(1),dxdu(1) + g'(1),dydu(1) = 2cdot(-1) + (-2)cdot5 = -2 -10 = -12

Resposta

dzdu(1) = -12

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