Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se ela é diferenciável em
. O conteúdo aqui é o critério de diferenciabilidade via existência e continuidade de derivadas parciais ou via composição de funções diferenciáveis. Vamos usar o fato de que polinômios e a função seno são
, e que a composição de funções
é
.
Passo 2
Definimos a função intermediária
que é um polinômio em
e portanto é
. Em seguida, a função
é dada por
Como
é
em todo
e
é
em
, a composição
é
em
. Logo
é diferenciável em todo
.
Passo 3
Para ilustrar, calculemos as derivadas parciais de
. Pelo teorema da cadeia:
Passo 4
As funções
são produto de funções contínuas (polinômios e
), portanto são contínuas em
. Derivadas parciais contínuas implicam que
é
, logo diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo
.