Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em R^2.
f(x, y)=sen(x y^2)

Passo 1

O enunciado define a função
fcolonR^2toR, f(x,y)=senl(xy^2r)
e pede para verificar se ela é diferenciável em R^2. O conteúdo aqui é o critério de diferenciabilidade via existência e continuidade de derivadas parciais ou via composição de funções diferenciáveis. Vamos usar o fato de que polinômios e a função seno são C^infty, e que a composição de funções C^1 é C^1.

Passo 2

Definimos a função intermediária
h(x,y)=x,y^2,
que é um polinômio em (x,y) e portanto é C^infty. Em seguida, a função f é dada por
f(x,y)=senl(h(x,y)r)
Como sen é C^infty em todo R e h é C^infty em R^2, a composição f=sencirc h é C^infty em R^2. Logo f é diferenciável em todo R^2.

Passo 3

Para ilustrar, calculemos as derivadas parciais de f. Pelo teorema da cadeia:
partial fpartial x(x,y) =cosl(xy^2r),partialpartial x(xy^2) =cosl(xy^2r),y^2,
partial fpartial y(x,y) =cosl(xy^2r),partialpartial y(xy^2) =cosl(xy^2r),2xy

Passo 4

As funções
(x,y)mapsto cosl(xy^2r),y^2 e (x,y)mapsto cosl(xy^2r),2xy
são produto de funções contínuas (polinômios e cos), portanto são contínuas em R^2. Derivadas parciais contínuas implicam que f é C^1, logo diferenciável em R^2.

Resposta

A função f(x,y)=sen(xy^2) é diferenciável em todo R^2.

Exercícios relacionados