1. Seja f: R R derivável em x=0 tal que f(0)=f^prime(0)=0. Seja g: R R uma função limitada e não derivável em x=0. Calcule a derivada de h(x)=f(x) g(x) no ponto x=0. Resp.: 0 .
  2. Mostrar que a reta y=-x é tangente à curva y=x^3-6 x^2+8 x. Encontre o ponto de tangência. Resp: (3,-3).

Passo 1

Exercício 10: temos f derivável em 0 com f(0)=f'(0)=0, e g limitada (mas não derivável) em 0. Queremos calcular
h'(0),onde h(x)=f(x),g(x)

Passo 2

Usamos a definição de derivada em 0:
h'(0)=limxto0h(x)-h(0)x
Como h(0)=f(0),g(0)=0, fica
h'(0)=limxto0f(x),g(x)x =limxto0l(f(x)-f(0)xr),g(x)
Ora, limxto0f(x)-f(0)x=f'(0)=0 e g(x) é limitada, digamos |g(x)|<= M. Logo o produto tende a 0cdotlimitado =0.

Passo 3

Exercício 11: a curva é
y=x^3-6x^2+8x
e queremos mostrar que a reta y=-x é tangente à curva e encontrar o ponto de tangência.

Passo 4

Calculamos a derivada da curva:
y'=3x^2-12x+8
Para que a reta tangente tenha coeficiente angular -1, resolvemos
3x^2-12x+8=-1 Longrightarrow 3x^2-12x+9=0 Longrightarrow x^2-4x+3=0
cuja solução é x=1 ou x=3.

Passo 5

Verificamos qual gera a reta y=-x. Para x=1,
y(1)=1-6+8=3, y' (1)=-1,
tangente: y-3=-1(x-1)Rightarrow y=-x+4, não é y=-x.
Para x=3,
y(3)=27-54+24=-3, y'(3)=-1,
tangente: y+3=-1(x-3)Rightarrow y=-x. Funciona.

Resposta

  1. h'(0)=0.
  2. A reta y=-x é tangente no ponto l(3,-3r).

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