Calcule partial zpartial u e partial zpartial v no ponto indicado
z=4 e^x ln y, x=ln (u cos v), y=u sin v ; (u, v)=(2, pi4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas parciais. A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental em cálculo para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Aqui, depende de e , que por sua vez dependem de e . Para achar e , vamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivadas de partial zpartial x = 4 e^x ln y em relação a partial zpartial y = 4 e^x cdot 1y e partial xpartial u = 1u cos v cdot cos v = 1u : partial xpartial v = 1u cos v cdot (-u sin v) = -tan v partial ypartial u = sin v
  2. Derivadas de partial ypartial v = u cos v e em relação a e :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u e partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v :

Passo 5

Vamos calcular cada termo no ponto x = ln(2 cos pi4) = ln(2 cdot raiz22) = ln(raiz2) = 12 ln 2 :
  1. Calculando y = 2 sin pi4 = 2 cdot raiz22 = raiz2 e partial zpartial x = 4 e^x ln y = 4 e^12 ln 2 ln raiz2 = 4 cdot raiz2 cdot 12 ln 2 = 2 raiz2 ln 2 :
    partial zpartial y = 4 e^x cdot 1y = 4 cdot raiz2 cdot 1raiz2 = 4
    partial xpartial u = 12
  2. Calculando partial xpartial v = -tan pi4 = -1 e partial ypartial u = sin pi4 = raiz22 :
    partial ypartial v = 2 cos pi4 = 2 cdot raiz22 = raiz2
  3. Calculando , , e :

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
partial zpartial u = (2 raiz2 ln 2) cdot 12 + 4 cdot raiz22 = raiz2 ln 2 + 2 raiz2 = raiz2 (ln 2 + 2)
partial zpartial v = (2 raiz2 ln 2) cdot (-1) + 4 cdot raiz2 = -2 raiz2 ln 2 + 4 raiz2 = raiz2 (4 - 2 ln 2)

Resposta

No ponto partial zpartial u = raiz2 (ln 2 + 2) , as derivadas parciais são:
partial zpartial v = raiz2 (4 - 2 ln 2)

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