Seja a um número real tal que a > e. Seja g a função, de domínio R^+, definida por g(x) = a x + ln x. Mostre que a função g tem, pelo menos, um zero no intervalo (1/a, 1/e).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função , onde é um número real maior que . Nosso objetivo aqui é mostrar que essa função tem pelo menos um zero no intervalo . Para resolver isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado Teorema do Valor Intermediário, que basicamente nos ajuda a garantir que uma função contínua que muda de sinal em um intervalo deve passar por zero nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar a função nos extremos do intervalo dado: e .
  1. Avaliação em :
    Sabemos que , então:
    Como e , então , o que significa que:
    Portanto, é negativo.
  2. Avaliação em :
    Sabemos que , então:
    Como , então , o que implica:
    Portanto, é positivo.

Passo 3

Agora que sabemos que:
E a função é contínua no intervalo porque é composta por funções contínuas (a função linear e a função logarítmica ).
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos um ponto dentro desse intervalo onde a função é igual a zero.

Resposta

Portanto, a função tem, pelo menos, um zero no intervalo .

Exercícios relacionados