Seja
um número real tal que
. Seja
a função, de domínio
, definida por
. Mostre que a função
tem, pelo menos, um zero no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função
, onde
é um número real maior que
. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa função tem pelo menos um zero no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar um conceito de cálculo chamado Teorema do Valor Intermediário, que basicamente nos ajuda a garantir que uma função contínua que muda de sinal em um intervalo deve passar por zero nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos avaliar a função
nos extremos do intervalo dado:
e
.
-
Avaliação em
: Sabemos que, então: Comoe , então , o que significa que: Portanto,é negativo. -
Avaliação em
: Sabemos que, então: Como, então , o que implica: Portanto,é positivo.
Passo 3
Agora que sabemos que:
E a função
é contínua no intervalo
porque é composta por funções contínuas (a função linear
e a função logarítmica
).
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos um ponto dentro desse intervalo onde a função é igual a zero.
Resposta
Portanto, a função
tem, pelo menos, um zero no intervalo
.