Use a Regra da Cadeia para calcular d/z dt ou d w / d t no ponto indicado
w = x/z + y/z, x = cos^2(t), y = sen^2(t), z = 1/t ; t = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Regra da Cadeia para calcular a derivada de ou de em relação ao tempo no ponto . Vamos trabalhar com as seguintes funções:
Então, vamos precisar entender como derivar essas funções usando a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos encontrar. Como temos duas opções ( ou ), vamos escolher calcular . Isso vai nos dar como muda em relação ao tempo .

Passo 3

Vamos relembrar a Regra da Cadeia. Ela é usada para derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções. A regra diz que se depende de e , que por sua vez dependem de , então:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Então,

Passo 5

Agora, precisamos calcular e .
Para :
Para :

Passo 6

Vamos substituir tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Simplificando:

Passo 7

Sabemos que e , então (pela identidade trigonométrica).
Também temos , então .
Substituindo esses valores:

Passo 8

Agora, vamos avaliar em :
Primeiro, calculamos e (em radianos):
Substituindo:
Calculando:

Resposta

Portanto, em é aproximadamente 1,84.

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