Calcule partial zpartial u e partial zpartial v usando a regra da cadeia.
(a) z=2 x^2-y^3 ; x(u, v)=u^2-e^v, y=3 v sen(u).

Passo 1

O enunciado nos dá a função z=2x^2-y^3 em que x e y dependem de u e v segundo
x(u,v)=u^2-e^v, y(u,v)=3vsin(u)
O conteúdo aqui é derivada parcial composta (regra da cadeia para funções de várias variáveis). Vamos primeiro obter partial z/partial x e partial z/partial y e depois usar
partial zpartial u =partial zpartial xpartial xpartial u +partial zpartial ypartial ypartial u, partial zpartial v =partial zpartial xpartial xpartial v +partial zpartial ypartial ypartial v

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como
z(x,y)=2x^2-y^3,
temos
partial zpartial x =4x, partial zpartial y =-3y^2

Passo 3

Agora obtemos partial x/partial u e partial y/partial u:
partial xpartial u =2u, partial ypartial u =3vcos(u)
Aplicando a regra da cadeia para partial z/partial u:
partial zpartial u =4xcdot(2u)+(-3y^2)cdot(3vcos(u)) =8u,x-9v,y^2cos(u)
Substituindo x=u^2-e^v e y=3vsin(u), fica
partial zpartial u =8ul(u^2-e^vr) -9vl(3vsin(u)r)^2cos(u)

Passo 4

Em seguida, obtemos partial x/partial v e partial y/partial v:
partial xpartial v =-e^v, partial ypartial v =3sin(u)
Pela regra da cadeia:
partial zpartial v =4xcdot(-e^v)+(-3y^2)cdot(3sin(u)) =-4x,e^v-9y^2sin(u)
Substituindo x e y:
partial zpartial v =-4l(u^2-e^vr)e^v -9l(3vsin(u)r)^2sin(u)

Resposta

partial zpartial u =8ul(u^2-e^vr) -9vl(3vsin(u)r)^2cos(u),
partial zpartial v =-4l(u^2-e^vr)e^v -9l(3vsin(u)r)^2sin(u)

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