Calcule partial zpartial u e partial zpartial v usando a regra da cadeia.
(b) z=x^2x^2+y^2 ; x(u, v)=u cos (v), y=u sen(v).

Passo 1

O enunciado define a função
z = x^2x^2 + y^2
com as parametrizações
x = ucos(v), y = u,sen(v)
O que precisamos usar é a regra da cadeia para calcular partial z/partial u e partial z/partial v, ou seja, saber zx, zy e as derivadas parciais de x e y em relação a u e v.

Passo 2

Pela regra da cadeia para funções de duas variáveis temos
partial zpartial u = zx,xu + zy,yu
partial zpartial v = zx,xv + zy,yv

Passo 3

Calculemos zx e zy em
z = x^2x^2 + y^2
Usando a regra do quociente, para zx:
zx = 2x(x^2+y^2) - x^2,(2x)(x^2+y^2)^2 = 2x,y^2(x^2+y^2)^2
e para zy:
zy = 0cdot(x^2+y^2) - x^2,(2y)(x^2+y^2)^2 = -2x^2,y(x^2+y^2)^2

Passo 4

As derivadas das parametrizações são diretas:
xu = cos(v), yu = sen(v),
xv = -,u,sen(v), yv = u,cos(v)

Passo 5

Substituindo em partial z/partial u obtemos
partial zpartial u = 2x,y^2(x^2+y^2)^2,cos(v) ;+;l(-2x^2,y(x^2+y^2)^2r),sen(v)
= 2x,y^2,cos(v) - 2x^2,y,sen(v)(x^2+y^2)^2

Passo 6

Para simplificar, note que
x^2 + y^2 = u^2, x = ucos(v), y = u,sen(v)
Então
2x,y^2,cos(v) = 2u^3cos^2(v),sen^2(v),
2x^2,y,sen(v) = 2u^3cos^2(v),sen^2(v),
(x^2+y^2)^2 = u^4
Logo
partial zpartial u = 2u^3cos^2(v),sen^2(v) - 2u^3cos^2(v),sen^2(v)u^4 = 0

Passo 7

Agora em partial z/partial v temos
partial zpartial v = 2x,y^2(x^2+y^2)^2,(-u,sen(v)) ;+;l(-2x^2,y(x^2+y^2)^2r),(u,cos(v))
= -2u,x,y^2,sen(v) - 2u,x^2,y,cos(v)(x^2+y^2)^2

Passo 8

Usando de novo x^2+y^2=u^2 e x=ucos(v), y=u,sen(v):
-2u,x,y^2,sen(v) = -2u^4cos(v),sen^3(v),
-2u,x^2,y,cos(v) = -2u^4sen(v),cos^3(v),
(x^2+y^2)^2 = u^4
Isso dá
partial zpartial v = -2u^4cos(v),sen^3(v) -2u^4sen(v),cos^3(v)u^4 = -2,sen(v)cos(v) = -,sen(2v)

Resposta

partial zpartial u = 0, partial zpartial v = -,sen(2v)

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