Calcule o que se pede em cada espaço vetorial:
Seja
o espaço vetorial das funções reais. Sejam
e
. Calcule
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular algumas coisas dentro do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções reais. Temos duas funções específicas:
e
. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, focando em espaços vetoriais e propriedades como combinação linear e independência linear. Vamos precisar entender o que significa combinar essas funções e verificar se elas são independentes ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre combinação linear. Isso significa que podemos pegar múltiplas dessas funções e somá-las após multiplicá-las por escalares (números reais). Ou seja, uma combinação linear de
e
seria algo como:
Onde
e
são números que multiplicam cada função.
Passo 3
Agora, vamos verificar a independência linear dessas funções. Dizemos que
e
são linearmente independentes se a única solução para a equação:
É
e
. Isso significa que nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear da outra.
Passo 4
Para testar isso, vamos supor que:
Queremos ver se isso só acontece quando
e
são zero. Vamos escolher valores específicos de
para facilitar.
Passo 5
Escolha
:
Isso não nos dá nenhuma informação. Vamos tentar outro valor.
Escolha
:
Ou seja:
Passo 6
Escolha
:
Então:
Passo 7
Com
, vamos voltar à Equação 1:
Então, a única solução possível é
e
, o que significa que
e
são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes no espaço vetorial
.