Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar se esse conjunto satisfaz três condições fundamentais para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado quanto à adição de vetores e ser fechado quanto à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição
, temos
, que é verdadeiro. Portanto, o vetor zero pertence ao conjunto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado quanto à adição de vetores. Isso significa que, se pegarmos dois vetores qualquer do conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto. Vamos considerar dois vetores quaisquer
e
onde
e
. Somando eles, temos
. Para que a soma pertença ao conjunto, devemos ter
.
Vamos analisar:
- Se
e , então , e portanto a condição é satisfeita. - Se
e , então , e a condição também é satisfeita. - Mas se, por exemplo,
e , então . Isso não necessariamente será zero, a menos que ou , o que não podemos garantir para todos os vetores.
Portanto, o conjunto não é fechado quanto à adição de vetores.
Passo 4
Como já falhamos em uma das condições necessárias para ser um subespaço vetorial (fechamento pela adição), não precisamos verificar a terceira condição (fechamento pela multiplicação por escalar). No entanto, para completar a análise, podemos verificar rapidamente.
Consideremos um vetor
no conjunto, onde
, e um escalar
. O produto escalar seria
. A condição para estar no conjunto seria
, o que sempre é verdadeiro. Logo, o conjunto é fechado quanto à multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
, pois não é fechado quanto à adição de vetores.