Determine se cada conjunto a seguir é ou não subespaço vetorial de R^2.
(x, y) in R^2 mid x y=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se o conjunto (x, y) in R^2 mid x y=0 é um subespaço vetorial de R^2. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar se esse conjunto satisfaz três condições fundamentais para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado quanto à adição de vetores e ser fechado quanto à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em R^2 é (0, 0). Substituindo na condição x y = 0, temos 0 times 0 = 0, que é verdadeiro. Portanto, o vetor zero pertence ao conjunto.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto é fechado quanto à adição de vetores. Isso significa que, se pegarmos dois vetores qualquer do conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto. Vamos considerar dois vetores quaisquer (x1, y1) e (x2, y2) onde x1 y1 = 0 e x2 y2 = 0. Somando eles, temos (x1 + x2, y1 + y2). Para que a soma pertença ao conjunto, devemos ter (x1 + x2)(y1 + y2) = 0.
Vamos analisar:
  • Se x1 = 0 e x2 = 0, então x1 + x2 = 0, e portanto a condição é satisfeita.
  • Se y1 = 0 e y2 = 0, então y1 + y2 = 0, e a condição também é satisfeita.
  • Mas se, por exemplo, x1 = 0 e y2 = 0, então (x1 + x2)(y1 + y2) = x2 y1. Isso não necessariamente será zero, a menos que x2 = 0 ou y1 = 0, o que não podemos garantir para todos os vetores.
Portanto, o conjunto não é fechado quanto à adição de vetores.

Passo 4

Como já falhamos em uma das condições necessárias para ser um subespaço vetorial (fechamento pela adição), não precisamos verificar a terceira condição (fechamento pela multiplicação por escalar). No entanto, para completar a análise, podemos verificar rapidamente.
Consideremos um vetor (x, y) no conjunto, onde x y = 0, e um escalar k. O produto escalar seria (k x, k y). A condição para estar no conjunto seria (k x)(k y) = k^2 x y = k^2 times 0 = 0, o que sempre é verdadeiro. Logo, o conjunto é fechado quanto à multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto (x, y) in R^2 mid x y=0 não é um subespaço vetorial de R^2, pois não é fechado quanto à adição de vetores.

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