Calcule o que se pede:
Determinar a área da superficie obtida pela revoluçảo da curva y=\sqrt{x}, entre x=1 e x=4 em tomo do cixo x.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da superfície obtida ao revolver a curva \,y=\sqrt{x}\, entre \,x=1\, e \,x=4\, em torno do eixo x.
Informações dadas:
y=\sqrt{x},\qquad 1\le x\le 4.
O que se pede: a área da superfície gerada pela rotação dessa curva ao redor do eixo x.
Passo 2
Qual fórmula usamos para área de superfície de revolução em torno do eixo x?
Se uma curva é dada por y=f(x) (com y\ge 0 no intervalo) e gira em torno do eixo x, a área da superfície é
S = 2\pi\int_{a}^{b} y\,\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.
Explicando a fórmula passo a passo:
Pegamos um pequeno pedaço da curva, de comprimento aproximado ds. Para uma variação dx temos ds\approx\sqrt{1+(y')^2}\,dx. Aqui y'=\dfrac{dy}{dx}. Isso vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo diferencial com lados dx e dy.
Ao girar esse pequeno segmento ao redor do eixo x ele descreve uma “faixa” aproximadamente cilíndrica cuja área lateral é a circunferência 2\pi y vezes a altura ds.
Portanto o elemento de área é dS\approx 2\pi y\,ds = 2\pi y\sqrt{1+(y')^2}\,dx. Integrando de a a b obtemos a fórmula acima.
Variáveis: y é a distância radial até o eixo x, y'=\dfrac{dy}{dx} é a derivada, a,b são os limites em x.
Passo 3
Aplicando à nossa curva: y=\sqrt{x}=x^{1/2}. Calculamos a derivada y':