Calcule o que se pede:
Determinar a área da superficie obtida pela revoluçảo da curva y=\sqrt{x}, entre x=1 e x=4 em tomo do cixo x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da superfície obtida ao revolver a curva \,y=\sqrt{x}\, entre \,x=1\, e \,x=4\, em torno do eixo x.
Informações dadas:
y=\sqrt{x},\qquad 1\le x\le 4.
O que se pede: a área da superfície gerada pela rotação dessa curva ao redor do eixo x.

Passo 2

Qual fórmula usamos para área de superfície de revolução em torno do eixo x?
Se uma curva é dada por y=f(x) (com y\ge 0 no intervalo) e gira em torno do eixo x, a área da superfície é
S = 2\pi\int_{a}^{b} y\,\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.
Explicando a fórmula passo a passo:
  • Pegamos um pequeno pedaço da curva, de comprimento aproximado ds. Para uma variação dx temos ds\approx\sqrt{1+(y')^2}\,dx. Aqui y'=\dfrac{dy}{dx}. Isso vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo diferencial com lados dx e dy.
  • Ao girar esse pequeno segmento ao redor do eixo x ele descreve uma “faixa” aproximadamente cilíndrica cuja área lateral é a circunferência 2\pi y vezes a altura ds.
  • Portanto o elemento de área é dS\approx 2\pi y\,ds = 2\pi y\sqrt{1+(y')^2}\,dx. Integrando de a a b obtemos a fórmula acima.
    Variáveis: y é a distância radial até o eixo x, y'=\dfrac{dy}{dx} é a derivada, a,b são os limites em x.

Passo 3

Aplicando à nossa curva: y=\sqrt{x}=x^{1/2}. Calculamos a derivada y':
y'=\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Expliquei: usei a regra de potência \dfrac{d}{dx}x^n = n x^{n-1} com n=\tfrac12.

Passo 4

Calculamos o fator \sqrt{1+(y')^2}:
1+(y')^2 = 1 + \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4x} = \frac{4x+1}{4x}.
Logo
\sqrt{1+(y')^2} = \sqrt{\frac{4x+1}{4x}} = \frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}}.
Passo importante: escrevemos em forma que permita simplificar com y=\sqrt{x}.

Passo 5

Montamos o integrando y\sqrt{1+(y')^2}:
y\sqrt{1+(y')^2} = \sqrt{x}\cdot\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{4x+1}}{2}.
Observação: \sqrt{x} cancela com \sqrt{x} no denominador, deixando \tfrac12\sqrt{4x+1}. Para ficar ainda mais simples, note que
\frac{\sqrt{4x+1}}{2} = \sqrt{x+\tfrac{1}{4}}.
De fato,
\sqrt{x+\tfrac14} = \sqrt{\frac{4x+1}{4}} = \frac{\sqrt{4x+1}}{2}.

Passo 6

Agora escrevemos a integral da área usando a fórmula:
S = 2\pi\int_{1}^{4} y\sqrt{1+(y')^2}\,dx = 2\pi\int_{1}^{4} \sqrt{x+\tfrac14}\,dx.
Expliquei: substituímos o integrando simplificado do passo anterior.

Passo 7

Calculamos a integral. Faço a substituição simples u=x+\tfrac14, então du=dx. Os limites mudam:
x=1\Rightarrow u=1+\tfrac14=\tfrac{5}{4},\qquad x=4\Rightarrow u=4+\tfrac14=\tfrac{17}{4}.
A integral vira
\int_{1}^{4}\sqrt{x+\tfrac14}\,dx = \int_{5/4}^{17/4} u^{1/2}\,du = \left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{u=5/4}^{u=17/4}.

Passo 8

Voltando para S:
S = 2\pi\cdot \frac{2}{3}\left[\left(\frac{17}{4}\right)^{3/2} - \left(\frac{5}{4}\right)^{3/2}\right] = \frac{4\pi}{3}\left[\left(\frac{17}{4}\right)^{3/2} - \left(\frac{5}{4}\right)^{3/2}\right].
Simplificamos cada termo: \left(\dfrac{a}{4}\right)^{3/2} = \dfrac{a^{3/2}}{4^{3/2}} = \dfrac{a^{3/2}}{8}. Assim
S = \frac{4\pi}{3}\cdot\frac{1}{8}\left(17^{3/2}-5^{3/2}\right) = \frac{\pi}{6}\left(17^{3/2}-5^{3/2}\right).
Também podemos escrever 17^{3/2}=17\sqrt{17} e 5^{3/2}=5\sqrt{5}, ficando
S = \frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2}-5^{3/2}\bigr)

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