Calcule o que se pede:
Calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo x, gerado pelo giro de f(x)=\frac{x}{4}+1 no domínio 0,5 \leq x \leq 5

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a curva
f(x)=\frac{x}{4}+1
no intervalo \;0,5\le x\le 5.\n
Informações dadas:
\text{função } f(x)=\frac{x}{4}+1,\qquad \text{intervalo } [0,5,\,5],\qquad \text{eixo de rotação: eixo } x.çãçã
Pergunta explícita: calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explanação didática, passo a passo)?
\n
Quando um gráfico y=f(x) é girado em torno do eixo x, cada fatia fina vertical em x (espessura dx) gera um disco (ou anel, se houver um buraco) de raio igual à altura y=f(x). O volume de um disco de raio r e espessura dx é aproximadamente a área da base vezes a espessura:
dV \approx \pi r^{2}\,dx.
Aqui o raio é r=f(x). Integrando essas fatias ao longo do intervalo [a,b] obtemos a fórmula do método dos discos:
V=\pi\int_{a}^{b} \bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dx.
Explicando cada símbolo:
\;V é o volume total; \pi vem da área do círculo; \;f(x) é o raio do disco em cada x; \;dx é a espessura infinitesimal da fatia; a integral soma todas as fatias de x=a até x=b.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: a=0,5 e b=5, com f(x)=\dfrac{x}{4}+1. Montamos o integral:
V=\pi\int_{0,5}^{5}\left(\frac{x}{4}+1\right)^{2}dx.
Para integrar é conveniente expandir o quadrado. Calculamos
\left(\frac{x}{4}+1\right)^{2}=\frac{x^{2}}{16}+\frac{x}{2}+1.
Mostrei como expandir: (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=\dfrac{x}{4}, b=1, então a^{2}=\dfrac{x^{2}}{16}, 2ab=\dfrac{2x}{4}=\dfrac{x}{2}, b^{2}=1.

Passo 4

Integramos termo a termo. O integral fica
V=\pi\int_{0,5}^{5}\left(\frac{x^{2}}{16}+\frac{x}{2}+1\right)dx.
Usamos as regras básicas de integração:
\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1),\qquad \int c\,dx=cx.
Aplicando:
\int\frac{x^{2}}{16}dx=\frac{1}{16}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{48},
\int\frac{x}{2}dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4},
\int 1\,dx = x.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{48}+\frac{x^{2}}{4}+x,
e
V=\pi\Bigl[F(x)\Bigr]_{0,5}^{5}=\pi\Bigl(F(5)-F(0,5)\Bigr).

Passo 5

Avalio F(5). Substituindo x=5:
\frac{5^{3}}{48}=\frac{125}{48},\qquad \frac{5^{2}}{4}=\frac{25}{4},\qquad x=5.
Somando em denominador comum 48:
F(5)=\frac{125}{48}+\frac{25}{4}+\;5=\frac{125}{48}+\frac{300}{48}+\frac{240}{48}=\frac{665}{48}.

Passo 6

Avalio F(0,5). Note que 0,5=\frac{1}{2}. Substituindo x=\frac{1}{2}:
\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}}{48}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{48}=\frac{1}{384},
\frac{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16},
x=\frac{1}{2}.
Colocando em denominador comum 384:
F(0,5)=\frac{1}{384}+\frac{24}{384}+\frac{192}{384}=\frac{217}{384}.

Passo 7

Subtração e simplificação:
F(5)-F(0,5)=\frac{665}{48}-\frac{217}{384}.
Converto \dfrac{665}{48} para denominador 384 multiplicando numerador e denominador por 8:
\frac{665}{48}=\frac{5320}{384}.
Logo
\frac{5320}{384}-\frac{217}{384}=\frac{5103}{384}.
Simplifico dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{5103}{384}=\frac{1701}{128}.

Passo 8

Multiplicando pelo \pi que estava fora da integral, o volume exato é
V=\pi\cdot\frac{1701}{128}=\frac{1701\pi}{128}.
Se quiser uma aproximação decimal (útil para conferir): \dfrac{1701}{128}\approx 13,2890625, então
V\approx 13,2890625\pi\approx 41,75\;(\text{unidades}^{3}).

Resposta

\displaystyle \frac{1701\pi}{128}

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