Calcule o que se pede:
Calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo
, gerado pelo giro de
no domínio
Calcule o volume do sólido de revolução em torno do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a curva
no intervalo
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta explícita: calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.
Passo 2
Qual método usar e por quê (explanação didática, passo a passo)?
\n
Quando um gráfico é girado em torno do eixo
, cada fatia fina vertical em
(espessura
) gera um disco (ou anel, se houver um buraco) de raio igual à altura
. O volume de um disco de raio
e espessura
é aproximadamente a área da base vezes a espessura:
\n
Quando um gráfico
Aqui o raio é
. Integrando essas fatias ao longo do intervalo
obtemos a fórmula do método dos discos:
Explicando cada símbolo:
é o volume total;
vem da área do círculo;
é o raio do disco em cada
;
é a espessura infinitesimal da fatia; a integral soma todas as fatias de
até
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
e
, com
. Montamos o integral:
Para integrar é conveniente expandir o quadrado. Calculamos
Mostrei como expandir:
. Aqui
,
, então
,
,
.
Passo 4
Integramos termo a termo. O integral fica
Usamos as regras básicas de integração:
Aplicando:
Portanto uma primitiva é
e
Passo 5
Avalio
. Substituindo
:
Somando em denominador comum
:
Passo 6
Avalio
. Note que
. Substituindo
:
Colocando em denominador comum
:
Passo 7
Subtração e simplificação:
Converto
para denominador
multiplicando numerador e denominador por
:
Logo
Simplifico dividindo numerador e denominador por
:
Passo 8
Multiplicando pelo
que estava fora da integral, o volume exato é
Se quiser uma aproximação decimal (útil para conferir):
, então