Calcule o que se pede:
Sejam f(x)=\frac{x^{\left(\frac{3}{2}\right)}}{2}+3 e a reta \mathrm{y}=4, determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo y, da região delimitada entre as funções f e a reta y, \operatorname{com} 1 \leq x \leq 3

Passo 1

O enunciado dá:
f(x)=\frac{x^{\left(\frac{3}{2}\right)}}{2}+3
e a reta \mathrm{y}=4. Pede-se o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada entre f e a reta \mathrm{y}=4, com 1\leq x\leq 3.
Informações relevantes:
\text{função }f(x)=\frac{x^{3/2}}{2}+3,\quad \text{reta }y=4,\quad x\in[1,3].çã
A pergunta é: qual é o volume do sólido de revolução em torno do eixo y da região entre essas duas curvas, restrita a 1\le x\le 3?

Passo 2

Precisamos saber onde as curvas se cruzam dentro do intervalo para montar corretamente a integral (porque a “altura” da região pode mudar de sinal). Igualamos f(x) a 4:
\frac{x^{3/2}}{2}+3=4.
Subtraindo 3 e multiplicando por 2:
x^{3/2}=2 \quad\Rightarrow\quad x=\bigl(2\bigr)^{2/3}.
Vou chamar esse ponto de interseção de x_0=\bigl(2\bigr)^{2/3}.
Calculo rápido dos valores nas extremidades para ver a posição relativa:
f(1)=\frac{1^{3/2}}{2}+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}=3{,}5<4,
f(3)=\frac{3^{3/2}}{2}+3=\frac{3\sqrt{3}}{2}+3\approx5{,}598>4.
Logo, em [1,x_0) temos f(x)<4 e em (x_0,3] temos f(x)>4. Isso exige tratar a altura da região como valor absoluto e, portanto, dividir a integral em duas partes em x_0.

Passo 3

Escolho o método das cascas cilíndricas (método das “cylindrical shells”). Explico por que e como funciona:
  • Quando giramos em torno do eixo y uma tira vertical em abscissa x de espessura dx, essa tira gera uma casca cilíndrica de raio x e altura dada pela distância vertical entre as curvas (a “altura” da casca).
  • A fórmula elementar para o volume de uma casca de espessura dx é:
dV = \text{(circunferência)}\times\text{(altura)}\times\text{(espessura)} = 2\pi x\cdot(\text{altura})\cdot dx,ê
onde \text{altura}=|\,4-f(x)\,|.
  • Portanto o volume total é a integral:
V=2\pi\int_{x=1}^{3} x\cdot\bigl|4-f(x)\bigr|\;dx.
Como vimos no Passo 2, vamos dividir em duas integrais em x_0=\bigl(2\bigr)^{2/3}, onde a diferença muda de sinal.

Passo 4

Escrevo explicitamente a integral dividida:
V=2\pi\left[\int_{1}^{x_0} x\bigl(4-f(x)\bigr)\,dx + \int_{x_0}^{3} x\bigl(f(x)-4\bigr)\,dx\right].
Agora substituo f(x)=\dfrac{x^{3/2}}{2}+3. Em ambas as partes a expressão simplifica porque
4-f(x)=1-\frac{x^{3/2}}{2},\qquad f(x)-4=\frac{x^{3/2}}{2}-1.
Então cada integrando (antes do sinal) é
x\Bigl(1-\frac{x^{3/2}}{2}\Bigr)=x-\frac{1}{2}x^{5/2}.
Portanto:
V=2\pi\left[\int_{1}^{x_0}\Bigl(x-\frac{1}{2}x^{5/2}\Bigr)\,dx + \int_{x_0}^{3}\Bigl(\frac{1}{2}x^{5/2}-x\Bigr)\,dx\right].
Observação útil: a segunda integral é simplesmente o negativo da primeira integrando avaliada no intervalo [x_0,3], mas vou proceder calculando a primitiva e combinando convenientemente.

Passo 5

Calculamos a primitiva de x-\dfrac{1}{2}x^{5/2}.
  • Para \int x\,dx a primitiva é \dfrac{x^2}{2}.
  • Para \int \dfrac{1}{2}x^{5/2}\,dx temos
\int \frac{1}{2}x^{5/2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{7/2}}{7/2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{7}x^{7/2}=\frac{1}{7}x^{7/2}.
Assim a primitiva de x-\dfrac{1}{2}x^{5/2} é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{7}x^{7/2}.

Passo 6

Avalio as integrais usando F. Conforme manipulação algébrica feita anteriormente, a soma das duas integrais dá
\int_{1}^{x_0}\Bigl(x-\frac{1}{2}x^{5/2}\Bigr)\,dx + \int_{x_0}^{3}\Bigl(\frac{1}{2}x^{5/2}-x\Bigr)\,dx =2F(x_0)-F(1)-F(3).
Agora calculo F(1),F(3),F(x_0).
  • Para x=1:
F(1)=\frac{1^{2}}{2}-\frac{1}{7}1^{7/2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{7}=\frac{5}{14}.
  • Para x=3:
F(3)=\frac{3^{2}}{2}-\frac{1}{7}3^{7/2}=\frac{9}{2}-\frac{27\sqrt{3}}{7},
porque 3^{7/2}=3^{3}\cdot 3^{1/2}=27\sqrt{3}.
  • Para x_0=2^{2/3} precisamos de x_0^{2} e x_0^{7/2}. Calculamos as potências pela regra de expoentes:
x_0^{2}=\bigl(2^{2/3}\bigr)^{2}=2^{4/3},\qquad x_0^{7/2}=\bigl(2^{2/3}\bigr)^{7/2}=2^{(2/3)\cdot(7/2)}=2^{7/3}.
Logo
F(x_0)=\frac{2^{4/3}}{2}-\frac{1}{7}2^{7/3}.
Fatorando 2^{4/3} em F(x_0):
F(x_0)=2^{4/3}\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{2}{7}\Bigr) =2^{4/3}\cdot\frac{3}{14}=\frac{3}{14}2^{4/3}.
Portanto
2F(x_0)-F(1)-F(3)=2\cdot\frac{3}{14}2^{4/3}-\frac{5}{14}-\Bigl(\frac{9}{2}-\frac{27\sqrt{3}}{7}\Bigr).
Faço simplificação das constantes: 2\cdot\frac{3}{14}2^{4/3}=\frac{3}{7}2^{4/3}. Junta-se os termos racionais:
-\frac{5}{14}-\frac{9}{2}=-\frac{5}{14}-\frac{63}{14}=-\frac{68}{14}=-\frac{34}{7}.
E o termo com \sqrt{3} é +\dfrac{27\sqrt{3}}{7}. Assim
2F(x_0)-F(1)-F(3)=\frac{1}{7}\Bigl(3\cdot 2^{4/3}-34+27\sqrt{3}\Bigr).

Passo 7

Multiplicando pelo fator 2\pi da fórmula do volume obtemos o volume final:
V=2\pi\cdot\frac{1}{7}\Bigl(3\cdot 2^{4/3}-34+27\sqrt{3}\Bigr).
Podemos reescrever 3\cdot 2^{4/3}=6\cdot 2^{1/3} se preferir, mas a forma acima já é uma expressão exata e limpa.

Resposta

V=\frac{2\pi}{7}\Bigl(3\cdot 2^{4/3}-34+27\sqrt{3}\Bigr)

Exercícios relacionados