Calcule o que se pede:
Sejam f(x)=\frac{x^{\left(\frac{3}{2}\right)}}{2}+3 e a reta \mathrm{y}=4, determine o volume do sólido de revolução em torno do eixo y, da região delimitada entre as funções f e a reta y, \operatorname{com} 1 \leq x \leq 3
Passo 1
O enunciado dá:
f(x)=\frac{x^{\left(\frac{3}{2}\right)}}{2}+3
e a reta \mathrm{y}=4. Pede-se o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada entre f e a reta \mathrm{y}=4, com 1\leq x\leq 3.
A pergunta é: qual é o volume do sólido de revolução em torno do eixo y da região entre essas duas curvas, restrita a 1\le x\le 3?
Passo 2
Precisamos saber onde as curvas se cruzam dentro do intervalo para montar corretamente a integral (porque a “altura” da região pode mudar de sinal). Igualamos f(x) a 4:
Logo, em [1,x_0) temos f(x)<4 e em (x_0,3] temos f(x)>4. Isso exige tratar a altura da região como valor absoluto e, portanto, dividir a integral em duas partes em x_0.
Passo 3
Escolho o método das cascas cilíndricas (método das “cylindrical shells”). Explico por que e como funciona:
Quando giramos em torno do eixo y uma tira vertical em abscissa x de espessura dx, essa tira gera uma casca cilíndrica de raio x e altura dada pela distância vertical entre as curvas (a “altura” da casca).
A fórmula elementar para o volume de uma casca de espessura dx é:
dV = \text{(circunferência)}\times\text{(altura)}\times\text{(espessura)} = 2\pi x\cdot(\text{altura})\cdot dx,
Observação útil: a segunda integral é simplesmente o negativo da primeira integrando avaliada no intervalo [x_0,3], mas vou proceder calculando a primitiva e combinando convenientemente.