Pretende-se transportar
de água (
) ao longo de 1500 m , através de uma tubulação de aço rebitado (
). O desnível disponível é de
. Determinar o diâmetro do tubo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o diâmetro do tubo de aço que permite transportar
de água ao longo de
, dispondo de um desnível (cota) de
.
Dados fornecidos:
Pergunta explícita: encontrar o diâmetro interno
do tubo que satisfaça o transporte com o desnível dado.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada didaticamente): para tubos cheios usamos a equação de energia entre montante e jusante: a perda de carga por atrito ao longo do tubo deve igualar o desnível disponível (assumimos perdas singulares desprezíveis). A perda de carga por atrito é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
Aqui:
-
é a perda de carga (m), -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento do tubo (m), -
é o diâmetro interno do tubo (m), -
é a velocidade média do fluido no tubo (m/s), -
.
Também relacionamos vazão e velocidade pela área da seção:
O fator de atrito
depende do regime de escoamento (número de Reynolds
) e da rugosidade relativa
. Para escoamentos turbulentos em tubulações rugosas usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa para cálculo manual/iterativo):
onde
Como
depende de
(via
e
) e
depende de
(via a equação de Darcy), vamos resolver por iteração consistente. Vou explicar cada fórmula e passo enquanto calculamos.
Passo 3
Derivação de uma equação direta para
(mostra por que é necessário iterar): substituindo
em
e impondo
obtemos
Simplificando:
Rearranjando para
:
Assim:
Observe que
aparece dos dois lados (pois
depende de
), por isso resolvemos por iteração: assumir um
inicial, calcular
, atualizar
com Swamee–Jain e repetir até convergência.
Passo 4
Preparação dos valores numéricos constantes e cálculo do fator comum (que não depende de
):
Calculemos a constante
Calculemos a constante
Substituindo os valores:
Usando
:
Logo
Portanto a relação simplificada é
com
.
Passo 5
Primeira iteração — chute inicial para
: escolha razoável para tubos grandes e escoamento turbulento é
. Calculamos
:
Agora calculamos velocidade média
e número de Reynolds
:
Cálculo da rugosidade relativa:
Aplicando Swamee–Jain para obter
:
Calculos numéricos:
Somando:
Passo 6
Segunda iteração — atualizar
com
:
Calcular
e
:
Atualizar
por Swamee–Jain:
soma
,\quad
,
Passo 7
Terceira iteração — nova
com
:
Repetindo os cálculos vemos que
e
já praticamente convergiram (mudanças muito pequenas entre iterações). Em geral aceitamos convergência quando variação relativa em
é pequena (p.ex. <0,1%).
Passo 8
Verificação final (cálculo da perda de carga com os valores convergidos): usando
, obtemos velocidade e fator de atrito próximos a:
Então perda de carga calculada:
confirmando que o diâmetro encontrado usa corretamente o desnível disponível.
Passo 9
Interpretação e conclusão didática curta: o diâmetro ficou grande (cerca de
) porque a vazão
é elevada e o desnível disponível é relativamente pequeno (
), o que exige seção grande para manter perdas de carga compatíveis. O método usado (Darcy–Weisbach + Swamee–Jain + iteração) é padrão em hidráulica de tubulações e funciona bem sem calculadora sofisticada, fazendo 2–4 iterações manuais.