Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um trecho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm de diâmetro, ambos com o mesmo fator de atrito
. A vazão total que entra no sistema é Q e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazão de distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja nula. Determine a perda de carga total na adutora, em m , desprezando as perdas localizadas ao longo da adutora. (valor: 1,0 )
Considere os seguintes dados:
i. Vazão Q ,
ii. Dados:
;
i. Vazão Q ,
ii. Dados:
Passo 1
Entender o que o enunciado pede e listar os dados relevantes.
O enunciado pede: determinar a perda de carga total na adutora (em metros), desprezando perdas localizadas, quando a vazão total
entra no trecho de montante e a água é retirada uniformemente ao longo do comprimento com taxa por unidade de comprimento
, de modo que a vazão na extremidade de jusante é nula.
Dados fornecidos:
- Vazão total entrada:
- Trecho 1 (montante): comprimento
, diâmetro - Trecho 2 (jusante): comprimento
, diâmetro - Fator de atrito:
(mesmo para ambos os trechos). - Aceleração gravitacional:
- A água é distribuída uniformemente por unidade de comprimento com a mesma taxa
nos dois trechos, e a vazão final na extremidade é nula.
Observação importante do enunciado: a taxa
é uniforme ao longo dos dois trechos; portanto a soma das vazões retiradas ao longo de
é igual a
.
Passo 2
Calcular a taxa uniforme
(vazão por unidade de comprimento).
Como a água é retirada uniformemente ao longo de todo o comprimento total
, tem-se
Substituindo os valores:
Passo 3
Expressar a vazão que passa em qualquer seção ao longo de cada trecho.
Medimos
a partir do montante ao longo de cada trecho. Como a retirada é uniforme, a vazão que atravessa uma seção a uma distância
a montante é
Para o trecho 1 (0 até
) a entrada é
. A vazão que entra no trecho 2 (na junção montante/jusante) é
Calculando numericamente:
Confirmação rápida: a vazão retirada no trecho 2 é
, então a vazão chega a zero na saída, como dado.
Passo 4
Escrever a expressão diferencial da perda de carga e a integral para cada trecho (usando Darcy–Weisbach).
A perda de carga por um pequeno elemento de comprimento
é, pela fórmula de Darcy–Weisbach,
onde
é a velocidade local e
o diâmetro do trecho. Como
e
é a área da seção, substituímos e temos
Integrando ao longo de cada trecho (onde
e
são constantes do trecho), obtemos a perda de carga total no trecho:
onde
é a vazão de entrada do trecho e
o comprimento do trecho.
A integral pode ser avaliada explicitamente:
Aplicaremos isso ao trecho 1 (com
,
,
,
) e ao trecho 2 (com
,
,
,
).
Passo 5
Calcular as áreas das seções transversais
e
.
A área circular é
. Logo:
Passo 6
Calcular a perda de carga no trecho 1 (
) passo a passo.
Constante multiplicativa do trecho 1:
Numericamente,
Agora a integral (usando
,
,
):
Calculemos termo a termo:
Somando:
Portanto
Passo 7
Calcular a perda de carga no trecho 2 (
) passo a passo.
Constante multiplicativa do trecho 2:
Numericamente,
Integral para o trecho 2 com
,
:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Portanto
Passo 8
Somar as perdas de carga dos dois trechos para obter a perda de carga total.
Força final: você chegou aqui seguindo cada passo — ótimo! A técnica essencial que usamos é transformar a perda de carga localizada em uma integral porque a vazão varia linearmente ao longo da tubulação devido à retirada uniforme; isso é um truque que cai bastante em prova.