Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um trecho de 1500 m de comprimento e 150 mm de diâmetro, seguido por outro trecho de 900 m de comprimento e 100 mm de diâmetro, ambos com o mesmo fator de atrito f=0,028. A vazão total que entra no sistema é Q e toda água é distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazão de distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade de jusante seja nula. Determine a perda de carga total na adutora, em m , desprezando as perdas localizadas ao longo da adutora. (valor: 1,0 )
Considere os seguintes dados:
i. Vazão Q , \mathrm{em} \mathrm{L} / \mathrm{s}=26
ii. Dados: v_{\text {agua }}=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \rho_{\text {água }}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}á;

Passo 1

Entender o que o enunciado pede e listar os dados relevantes.
O enunciado pede: determinar a perda de carga total na adutora (em metros), desprezando perdas localizadas, quando a vazão total Q entra no trecho de montante e a água é retirada uniformemente ao longo do comprimento com taxa por unidade de comprimento q, de modo que a vazão na extremidade de jusante é nula.
Dados fornecidos:
  • Vazão total entrada: Q=26\\ \mathrm{L/s}=0,026\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Trecho 1 (montante): comprimento L_1=1500\\ \mathrm{m}, diâmetro D_1=150\\ \mathrm{mm}=0,15\\ \mathrm{m}.
  • Trecho 2 (jusante): comprimento L_2=900\\ \mathrm{m}, diâmetro D_2=100\\ \mathrm{mm}=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Fator de atrito: f=0,028 (mesmo para ambos os trechos).
  • Aceleração gravitacional: g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • A água é distribuída uniformemente por unidade de comprimento com a mesma taxa q nos dois trechos, e a vazão final na extremidade é nula.
Observação importante do enunciado: a taxa q é uniforme ao longo dos dois trechos; portanto a soma das vazões retiradas ao longo de L_1+L_2 é igual a Q.

Passo 2

Calcular a taxa uniforme q (vazão por unidade de comprimento).
Como a água é retirada uniformemente ao longo de todo o comprimento total L_\text{tot}=L_1+L_2, tem-se
q=\frac{Q}{L_1+L_2}.
Substituindo os valores:
q=\frac{0,026}{1500+900}=\frac{0,026}{2400}=1,0833333\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^3/(s\cdot m)}.

Passo 3

Expressar a vazão que passa em qualquer seção ao longo de cada trecho.
Medimos x a partir do montante ao longo de cada trecho. Como a retirada é uniforme, a vazão que atravessa uma seção a uma distância x a montante é
Q(x)=Q - q\,x.
Para o trecho 1 (0 até L_1) a entrada é Q_{1,0}=Q. A vazão que entra no trecho 2 (na junção montante/jusante) é
Q_{2,0}=Q - q\,L_1.
Calculando numericamente:
Q_{2,0}=0,026 - (1,0833333\times10^{-5})\cdot1500=0,00975\\ \mathrm{m^3/s}.
Confirmação rápida: a vazão retirada no trecho 2 é qL_2=(1,0833333\times10^{-5})\cdot900=0,00975, então a vazão chega a zero na saída, como dado.

Passo 4

Escrever a expressão diferencial da perda de carga e a integral para cada trecho (usando Darcy–Weisbach).
A perda de carga por um pequeno elemento de comprimento dx é, pela fórmula de Darcy–Weisbach,
dh = f\,\frac{dx}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde V é a velocidade local e D o diâmetro do trecho. Como V=\dfrac{Q(x)}{A} e A é a área da seção, substituímos e temos
dh = f\,\frac{dx}{D}\,\frac{Q(x)^2}{2g\,A^2}.
Integrando ao longo de cada trecho (onde A e D são constantes do trecho), obtemos a perda de carga total no trecho:
h = \frac{f}{2g\,D\,A^2}\int_{0}^{L} \big(Q_0 - qx\big)^2\,dx,
onde Q_0 é a vazão de entrada do trecho e L o comprimento do trecho.
A integral pode ser avaliada explicitamente:
\int_{0}^{L} (Q_0 - qx)^2\,dx = Q_0^2 L - Q_0 q L^2 + \frac{q^2 L^3}{3}.
Aplicaremos isso ao trecho 1 (com Q_0=Q, D=D_1, A=A_1, L=L_1) e ao trecho 2 (com Q_0=Q_{2,0}, D=D_2, A=A_2, L=L_2).

Passo 5

Calcular as áreas das seções transversais A_1 e A_2.
A área circular é \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}. Logo:
A_1=\frac{\pi (0,15)^2}{4}=0,0176715\\ \mathrm{m^2},
A_2=\frac{\pi (0,10)^2}{4}=0,00785398\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Calcular a perda de carga no trecho 1 ( h_1) passo a passo.
Constante multiplicativa do trecho 1:
C_1=\frac{f}{2g\,D_1\,A_1^2}.
Numericamente,
A_1^2=(0,0176715)^2=0,000312156,
2g\,D_1=2\cdot 9,81\cdot 0,15=2,943,
2g\,D_1\,A_1^2=2,943\cdot 0,000312156=0,000918537,
C_1=\frac{0,028}{0,000918537}=30,487\\ (\text{aprox.}).
Agora a integral (usando Q_0=0,026, q=1,0833333\times10^{-5}, L_1=1500):
I_1=Q_0^2 L_1 - Q_0 q L_1^2 + \frac{q^2 L_1^3}{3}.
Calculemos termo a termo:
Q_0^2 L_1=(0,026)^2\cdot1500=1,014,
Q_0 q L_1^2=0,026\cdot(1,0833333\times10^{-5})\cdot(1500)^2=0,63375,
\frac{q^2 L_1^3}{3}=\frac{(1,0833333\times10^{-5})^2\cdot(1500)^3}{3}=0,13203125.
Somando:
I_1=1,014 - 0,63375 + 0,13203125=0,51228125.
Portanto
h_1=C_1\cdot I_1=30,487\cdot0,51228125\approx 15,63\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular a perda de carga no trecho 2 ( h_2) passo a passo.
Constante multiplicativa do trecho 2:
C_2=\frac{f}{2g\,D_2\,A_2^2}.
Numericamente,
A_2^2=(0,00785398)^2=0,0000616850,
2g\,D_2=2\cdot9,81\cdot0,10=1,962,
2g\,D_2\,A_2^2=1,962\cdot0,0000616850=0,000120946,
C_2=\frac{0,028}{0,000120946}=231,547\\ (\text{aprox.}).
Integral para o trecho 2 com Q_{2,0}=0,00975, L_2=900:
I_2=Q_{2,0}^2 L_2 - Q_{2,0} q L_2^2 + \frac{q^2 L_2^3}{3}.
Calculemos termo a termo:
Q_{2,0}^2 L_2=(0,00975)^2\cdot900=0,08555625,
Q_{2,0} q L_2^2=0,00975\cdot(1,0833333\times10^{-5})\cdot(900)^2=0,08555625\quad(\text{o mesmo}),
\frac{q^2 L_2^3}{3}=\frac{(1,0833333\times10^{-5})^2\cdot(900)^3}{3}=0,02852444.
Somando:
I_2=0,08555625 - 0,08555625 + 0,02852444=0,02852444.
Portanto
h_2=C_2\cdot I_2=231,547\cdot0,02852444\approx 6,61\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Somar as perdas de carga dos dois trechos para obter a perda de carga total.
h_\text{total}=h_1+h_2\approx 15,63 + 6,61 = 22,24\\ \mathrm{m}.
Força final: você chegou aqui seguindo cada passo — ótimo! A técnica essencial que usamos é transformar a perda de carga localizada em uma integral porque a vazão varia linearmente ao longo da tubulação devido à retirada uniforme; isso é um truque que cai bastante em prova.

Resposta

22,24\\ \mathrm{m}

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